Sur les domaines hyperboliques pour la distance intégrée de Carathéodory
Annales de l'Institut Fourier, Tome 46 (1996) no. 3, pp. 743-753.

Dans cet article, je montre qu’un domaine D est hyperbolique pour la pseudodistance intégrée de Carathéodory c D i (c’est-à-dire que c D i est une distance sur D) si et seulement si la pseudodistance de Carathéodory c D vérifie la propriété de séparation faible suivante : tout point x de D possède un voisinage V tel que, pour tout point y de V, yx, c D (x,y))0. Je construis aussi un exemple d’un domaine c D i -hyperbolique et non c D -hyperbolique.

In this paper, I prove that a domain D is hyperbolic for the Carathéodory integrated pseudodistance c D i (this means that c D i is a distance on D) if and only if the Carathéodory pseudodistance c D satisfies the following weak separation condition: for every xD, there exists a neighborhood V of x such that, yV, yx, c D (x,y)0. I also give an example of a domain D, c D i -hyperbolic but not c D -hyperbolic.

@article{AIF_1996__46_3_743_0,
     author = {Vigu\'e, Jean-Pierre},
     title = {Sur les domaines hyperboliques pour la distance int\'egr\'ee de {Carath\'eodory}},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {743--753},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {46},
     number = {3},
     year = {1996},
     doi = {10.5802/aif.1530},
     mrnumber = {97f:32031},
     zbl = {0854.32010},
     language = {fr},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.1530/}
}
TY  - JOUR
AU  - Vigué, Jean-Pierre
TI  - Sur les domaines hyperboliques pour la distance intégrée de Carathéodory
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1996
SP  - 743
EP  - 753
VL  - 46
IS  - 3
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.1530/
DO  - 10.5802/aif.1530
LA  - fr
ID  - AIF_1996__46_3_743_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Vigué, Jean-Pierre
%T Sur les domaines hyperboliques pour la distance intégrée de Carathéodory
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1996
%P 743-753
%V 46
%N 3
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.1530/
%R 10.5802/aif.1530
%G fr
%F AIF_1996__46_3_743_0
Vigué, Jean-Pierre. Sur les domaines hyperboliques pour la distance intégrée de Carathéodory. Annales de l'Institut Fourier, Tome 46 (1996) no. 3, pp. 743-753. doi : 10.5802/aif.1530. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.1530/

[1] T. Barth, Some counterexamples concerning intrinsic distances, Proc. Amer. Math. Soc., 66 (1977), 49-59. | MR | Zbl

[2] L. Belkhchicha et J.-P. Vigué, Sur les espaces complets pour la distance de Carathéodory, Atti Accad. Naz. Lincei (9), 5 (1994), 189-192. | MR | Zbl

[3] S. Dineen, The Schwarz Lemma, Oxford Math. Monographs, Clarendon Press, Oxford, 1989. | MR | Zbl

[4] T. Franzoni and E. Vesentini, Holomorphic maps and invariant distances, Math. Studies 40, North-Holland, Amsterdam, 1980. | MR | Zbl

[5] R. Gunning and H. Rossi, Analytic functions of several complex variables, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1965. | MR | Zbl

[6] L. Harris, Schwarz-Pick systems of pseudo metrics for domains in normed linear spaces, In advances in Holomorphy, Mathematical Studies 34, North-Holland, Amsterdam, 1979, p. 345-406. | MR | Zbl

[7] M. Hayashi, The maximal ideal space of the bounded analytic function on the Riemann surface, J. Math. Soc. Japan, 39 (1987), 337-344. | MR | Zbl

[8] M. Hayashi, M. Nakai and S. Segawa, Bounded analytic functions on two sheeted discs, Trans. Amer. Math. Soc., 333 (1992), 799-819. | MR | Zbl

[9] M. Jarnicki and P. Pflug, Invariant distances and metrics in complex analysis, De Gruyter Exposition in Mathematics 9, De Gruyter, Berlin, 1993. | MR | Zbl

[10] M. Jarnicki, P. Pflug and J.-P. Vigué, The Carathéodory distance does not define the topology - the case of domains, C R. Acad. Sci. Paris, série I, 312 (1991), 77-79. | MR | Zbl

[11] S. Kobayashi, Intrinsic distances, measures and geometric function theory. Bull. Amer. Math. Soc., 82 (1976), 357-416. | Zbl

[12] L. Lempert, Holomorphic retracts and intrinsic metrics in convex domains, Anal. Math., 8 (1982), 257-261. | MR | Zbl

[13] H. Royden and P. Wong, Carathéodory and Kobayashi metrics on convex domains, preprint (1983).

[14] Y.-T. Siu, Every stein subvariety admits a Stein neighborhood, Inventiones Math., 38 (1976) 89-100. | MR | Zbl

[15] E. Vesentini, Complex geodesics, Compositio Math., 44 (1981), 375-394. | Numdam | MR | Zbl

[16] J.-P. Vigué, Un lemme de Schwarz pour les domaines bornés symétriques irréductibles et certains domaines bornés strictement convexes, Indiana Univ. J., 40 (1991), 293-304. | MR | Zbl

Cité par Sources :