Solutions classiques globales des équations d'Euler pour un fluide parfait compressible

Serre, Denis

Annales de l'Institut Fourier, Tome 47 (1997) no. 1, pp. 139-153.

Soit $\rho$, $u$, $e$, $S$ et $p$ les variables usuelles qui décrivent l’état d’un fluide en coordonnées eulériennes. Le domaine physique occupé par le fluide est a priori ${ℝ}^d$ tout entier, mais $\rho$ peut être nul en dehors d’un compact $K\left(t\right)$. On choisit l’équation d’état d’un gaz parfait, $p=(\gamma -1)\rho e$, où $\gamma \in [1,1+2/d]$ est une constante. Le cas $\gamma =1+2/d$ est celui du gaz mono-atomique.

Dans la limite $\rho \to 0$, les collisions sont rares et on est tenté d’approcher le mouvement des particules par un mouvement rectiligne uniforme : le champ de vitesse obéit alors à $v_t+(v·\nabla )v=0$. Si de plus $v(0,x)=A_{0}x$, où $A_0\in M_d\left(ℝ\right)$ n’a pas de valeur propre réelle négative, $v$ est défini pour tout $t\ge 0:v(t,x)=A\left(t\right)x$, ce qu’on note $u_{A\left(t\right)}$.

On montre ici que, pour une condition initiale ${\rho }_0$, $u_0$, $S_0$ telle que ${\rho }_0^{(\gamma -1)/2}$, $u_0-u_{A_0}$, $S_0-\overline{S}$ ($\overline{S}$ étant une constante) soient petits dans $H^m({ℝ}^d)$ ($m>1+d/2$), le problème de Cauchy admet une solution classique pour tout $t\ge 0$. Si de plus $A_0$ n’a aucune valeur propre réelle (dans ce cas, $d$ est pair), l’existence a lieu pour tout $t\in ℝ$. Enfin, pour un gaz mono-atomique, on donne une description précise du comportement asymptotique en temps.

Let $\rho$, $u$, $e$, $S$, $p$ the usual variables describing the state of a fluid in an eulerian frame. The underlying physical space is ${ℝ}^d$, $d\ge 1$. We restrict to the perfect gas law: $p=(\gamma -1)\rho e$, where $\gamma \in [1,1+2/d]$ is a constant. In the formal limit $\rho \to 0$ (rarefied gases), the particles evolve freely with a uniform motion; if the initial velocity field is linear (say $u_0\left(x\right)=A_{0}x$), then it remains so, with $A^{\prime }\left(t\right)=-A(t{)}^2$, and it is defined for every positive time, provided $A_0$ does not have a non-positive real eigenvalue. Let $u_A$ be this field. The purpose of this paper is to prove that, if the initial data $({\rho }_0,u_0,S_0)$ is close to $(0,u_A,\overline{S})$, with $\overline{S}$ a constant, then the Cauchy problem admits a (unique) smooth solution defined for all $t\ge 0$. In the mono-atomic case ($\gamma =1+2/d$), we give an accurate description of the asymptotic behaviour. All these results are especially designed for finite mass flows. The above-mentioned closeness relies as usual to the space $H^m({ℝ}^d)$ with $m>1+d/2$.

In even space dimension (say $d=2$), our result shows the existence of non-trivial smooth flows defined for all times $t\in ℝ$.

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