Solutions classiques globales des équations d'Euler pour un fluide parfait compressible
Annales de l'Institut Fourier, Volume 47 (1997) no. 1, p. 139-153
Let ρ, u, e, S, p the usual variables describing the state of a fluid in an eulerian frame. The underlying physical space is d , d1. We restrict to the perfect gas law: p=(γ-1)ρe, where γ[1,1+2/d] is a constant. In the formal limit ρ0 (rarefied gases), the particles evolve freely with a uniform motion; if the initial velocity field is linear (say u 0 (x)=A 0 x), then it remains so, with A (t)=-A(t) 2 , and it is defined for every positive time, provided A 0 does not have a non-positive real eigenvalue. Let u A be this field. The purpose of this paper is to prove that, if the initial data (ρ 0 ,u 0 ,S 0 ) is close to (0,u A ,S ¯), with S ¯ a constant, then the Cauchy problem admits a (unique) smooth solution defined for all t0. In the mono-atomic case (γ=1+2/d), we give an accurate description of the asymptotic behaviour. All these results are especially designed for finite mass flows. The above-mentioned closeness relies as usual to the space H m ( d ) with m>1+d/2.In even space dimension (say d=2), our result shows the existence of non-trivial smooth flows defined for all times t.
Soit ρ, u, e, S et p les variables usuelles qui décrivent l’état d’un fluide en coordonnées eulériennes. Le domaine physique occupé par le fluide est a priori d tout entier, mais ρ peut être nul en dehors d’un compact K(t). On choisit l’équation d’état d’un gaz parfait, p=(γ-1)ρe, où γ[1,1+2/d] est une constante. Le cas γ=1+2/d est celui du gaz mono-atomique.Dans la limite ρ0, les collisions sont rares et on est tenté d’approcher le mouvement des particules par un mouvement rectiligne uniforme : le champ de vitesse obéit alors à v t +(v·)v=0. Si de plus v(0,x)=A 0 x, où A 0 M d () n’a pas de valeur propre réelle négative, v est défini pour tout t0:v(t,x)=A(t)x, ce qu’on note u A(t) .On montre ici que, pour une condition initiale ρ 0 , u 0 , S 0 telle que ρ 0 (γ-1)/2 , u 0 -u A 0 , S 0 -S ¯ (S ¯ étant une constante) soient petits dans H m ( d ) (m>1+d/2), le problème de Cauchy admet une solution classique pour tout t0. Si de plus A 0 n’a aucune valeur propre réelle (dans ce cas, d est pair), l’existence a lieu pour tout t. Enfin, pour un gaz mono-atomique, on donne une description précise du comportement asymptotique en temps.
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     author = {Serre, Denis},
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Serre, Denis. Solutions classiques globales des équations d'Euler pour un fluide parfait compressible. Annales de l'Institut Fourier, Volume 47 (1997) no. 1, pp. 139-153. doi : 10.5802/aif.1563. http://www.numdam.org/item/AIF_1997__47_1_139_0/

[1] S. Alinhac, Temps de vie des solutions régulières des équations d'Euler compressibles axisymétriques en dimension deux, Inventiones Mathematicae, vol 111 (1993), 627-678. | MR 1202138 | MR 94a:35089 | Zbl 0798.35129

[2] J.-Y. Chemin, Dynamique des gaz à masse totale finie, Asymptotic Analysis, vol 3 (1990), 215-220. | MR 1076448 | MR 92a:76075 | Zbl 0708.76110

[3] L. Garding, Problèmes de Cauchy pour les systèmes quasi-linéaires d'ordre un strictement hyperboliques, in Les équations aux dérivées partielles, Colloques internationaux du CNRS, vol 117, 33-40, Paris 1963. | MR 171079 | MR 30 #1310 | Zbl 0239.35013

[4] P.D. Lax, Development of singularities of solutions of nonlinear hyperbolic partial differential equations, J. Math. Phys., vol 5 (1964), 611-613. | MR 165243 | MR 29 #2532 | Zbl 0135.15101

[5] P.-L. Lions, Existence globale de solutions pour les équations de Navier-Stokes compressibles isentropiques, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, vol 316 (1993), 1335-1340 et : Compacité des solutions des équations de Navier-Stokes compressibles isentropiques, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, vol 317 (1993), 115-120. | MR 1228976 | MR 94e:35107 | Zbl 0781.76072 | Zbl 0778.76086

[6] T. Makino, S. Ukai et S. Kawashima, Sur la solution à support compact de l'équation d'Euler compressible, Japan J. Appl. Math., vol 3 (1986), 249-257. | MR 899222 | MR 88g:35159 | Zbl 0637.76065

[7] A. Majda, Compressible fluid flows and systems of conservation laws in several space variables, Appl. Math. Sci. Ser., vol 53. Springer-Verlag, Berlin, 1983. | MR 748308 | Zbl 0537.76001

[8] D. Serre, Systèmes de lois de conservation, Diderot, Paris, 1996. | MR 1459989 | Zbl 0930.35002

[9] T. Sideris, Formation of singularities in three-dimensional compressible fluids, Commun. Math. Phys., vol 101 (1985), 475-485. | MR 815196 | MR 87d:35127 | Zbl 0606.76088