Quelques remarques sur les familles canoniques de polynômes générateurs pour l'exponentielle
Annales de l'Institut Fourier, Volume 47 (1997) no. 1, p. 1-48

We study the affine structure of a subset generating all the solutions of the functional equation S(X+Y,T)/S(X,T)K[[Y,T]] where K is any commutative field and S(X,T) belongs to K[[X,T]] (by combinatorial means, one must assume indeed char (K)=0 to get non-trivial solutions). The elements of this subset NW are the formal power series S(X,T)= n0 H n (X)T n where the sequence (H n (X))k[X] satisfies: H 0 =1,H 1 =X and H n (X 1 +...+X k )= α 1 +...+α k =n H α 1 (X 1 )...H α k X k )(n,k0). Let define an application γ in K[X] by γ(P(X))=P(X+Y) and let d be the standard derivation. By using these notations, the classical Taylor’s formula can be written: γ= exp (Yd). We shall show that there is a canonical bijection between NW and the set of endomorphisms f of the K-space K[X] which commute with γ or d and s.t. f(1)=0,f(X)=1. More precisely, for such a f, there exists S(X,T)= n0 H n (X)T n NW s.t. γ= n0 H n (Y)f n (reciprocally, this is a “Taylor’s formula” which characterizes f or (H n (X))). The set of these endomorphisms f is the orbit under the operation of the group GSF(K) (the group of series B(T)= n>0 b n T n with b n K and b 1 =1 which are invertible for the composition of the formal power series) on NW defined by B , n0 H n (X) T n n0 H n (X)(B -1 (T)) n = n0 K n (X)T n (and K n (X)K[X]). From several independent lemmas on linear algebra and combinatorial analysis, one get new developments in various domains: heights in several variables, geometry of polynomials ...

Soit K un corps commutatif. Chercher une série formelle S(X,T)K[[X,T]] vérifiant S(X+Y,T)/S(X,T)K[[Y,T]] conduit naturellement à étudier l’application U(T)(U(T)) X , U(T) étant une unité de l’algèbre K[[T]], et à ramener les solutions à la forme S(X,T)= n0 H n (X)T n , (H n (X)) étant une suite de K[X] vérifiant les “identités multinomiales” :

(μ)Hn(X1+...+Xk)=α1+...+αk=nHα1(X1)...Hαk(Xk)(n,k0).

Après mise à l’écart par des lemmes combinatoires du cas caract(K)>0 (les solutions sont triviales), on caractérise de plusieurs manières les solutions. On peut les faire coïncider avec l’ensemble NW des suites de polynômes (ou séries génératrices associées) vérifiant (μ). L’étude de NW se ramènera à celle du sous-ensemble NW formé des éléments tels que H 0 =1,H 1 =X (ou (S/T)(X,O)=X, S(X,O)=1), lequel peut être muni de multiples structures affines ou de groupes qu’on explicitera.

Soit γ (resp. d) l’application définie sur K[X] par γ(P(X))=P(X+Y) (resp. la dérivation); la formule de Taylor s’écrit donc γ= exp (Yd). L’ensemble des endomorphismes f de K[X] commutant avec d ou γ (modulo l’extension des scalaires à K[Y]) et vérifiant f(1)=0,f(X)=1, est canoniquement en bijection avec NW ; en effet, on prouvera qu’à un tel f est associée une base de Jordan (H n ) appartenant à NW et pour laquelle γ= n0 H n (Y)f n (réciproquement, une telle “formule de Taylor” caractérise f ou les (H n )). L’ensemble de ces endomorphismes f est l’orbite de d dans l’action naturelle du groupe GSF(K) des éléments de K[[T]] inversibles pour la composition. Cette bijection “de Jordan” fait apparaître NW comme l’orbite de (X n /n!) dans l’action (que respecte cette bijection) de GSF(K) sur NW définie par :B , n0 H n (X) T n n0 H n (X)(B -1 (T)) n = n0 K n (X)T n . Des lemmes indépendants, d’algèbre linéaire ou de nature combinatoire, fournissent généralisations et interprétations dans divers domaines et des connexions avec des développements récents.

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Langevin, Michel. Quelques remarques sur les familles canoniques de polynômes générateurs pour l'exponentielle. Annales de l'Institut Fourier, Volume 47 (1997) no. 1, pp. 1-48. doi : 10.5802/aif.1558. http://www.numdam.org/item/AIF_1997__47_1_1_0/

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