Problème du bord dans l'espace projectif complexe

Dinh, Tien-Cuong

Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998) no. 5, pp. 1483-1512.

Nous démontrons qu’une sous-variété réelle $\Gamma$ de dimension $2p-1$ et maximalement complexe d’un ouvert $(n-p+1)$-linéairement concave $X$ de $ℂ{\mathbb{P}}^n$ est le bord d’un sous-ensemble analytique de dimension $p$ de $X\setminus \Gamma$ si et seulement s’il existe un sous-ensemble $(p-2)$-générique $V$ de $X^{*}$ tel que pour tout $\nu \in V$ l’intersection $\Gamma \cap {\mathbb{P}}_{\nu }^{n-p+1}$ soit le bord d’une surface de Riemann (pour $p=2$, $V$ est $0$-générique si et seulement s’il n’est pas inclus dans une réunion dénombrable d’hyperplans de $ℂ{\mathbb{P}}^{n*}$). Ce théorème généralise le théorème de Wermer-Harvey-Lawson et le théorème de Dolbeault-Henkin. Nous en déduisons le théorème de Hartogs-Levi généralisé, le théorème d’extension des fonctions $CR$-méromorphes et une condition nécessaire et suffisante pour qu’un sous-ensemble analytique de dimension pure $p\ge 2$ de ${ℂ}^n$ soit algébrique.

We prove that a maximally complex real submanifold $\Gamma$ of dimension $2p-1$ in an $(n-p+1)$-linearly concave open set $X$ of $ℂ{\mathbb{P}}^n$ is the boundary of the analytic subset of dimension $p$ of $X\setminus \Gamma$ if and only if there exists a $(p-2)$-generic subset $V$ of $X^{*}$ such that, for every $\nu \in V$ the intersection $\Gamma \cap {\mathbb{P}}_{\nu }^{n-p+1}$ is the boundary of a Riemann surface (for $p=2$, $V$ is $O$-generic if and only if it is not included in an countable union of hyperplanes of $ℂ{\mathbb{P}}^{n*}$). This theorem generalizes Wermer-Harvey-Lawson theorem and Dolbeault-Henkin theorem. We deduce a generalized Hartogs-Levi theorem, the theorem of extension of $CR$-meromorphic functions and a necessary and sufficient condition for an analytic subset of pure dimension $p\ge 2$ of ${ℂ}^n$, to be algebraic.

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