Colorations généralisées, graphes biorientés et deux ou trois choses sur François
Annales de l'Institut Fourier, Volume 49 (1999) no. 3, p. 955-971

The generalization of Stahl’s chromatic numbers ${\chi }_{n}\left(G\right)$ was a first topic of work with François which ended at the notion of generalized colorings and their associated chromatic numbers denoted ${\chi }_{n}^{p,q}\left(G\right)$. This notion allowed, in one hand to infirm with Payan a conjecture of Brigham and Dutton, and on the other hand to extend in a natural way Stahl’s recurrence relation to the chromatic numbers ${\chi }_{n}^{0,q}\left(G\right)$. This relation is written as ${\chi }_{n}^{0,q}\left(G\right)\ge {\chi }_{n-1}^{0,q}\left(G\right)+2$. Bouchet’s conjecture on the nowhere-zero 6-flow in bidirected graphs was an important topic of common research with François. If $G=\left(V,E\right)$ is a simple graph, the set of half edges of $G$ is the set denoted $H\left(G\right)$ defined by $H\left(G\right)=\left\{\left(e,v\right)\in E×V;v\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}\text{is}\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\text{incident}\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\text{to}\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}e\right\}$. A bidirected graph is a couple $\left(G,\tau \right)$ where $\tau$ is a signature (called bidirection) of $H\left(G\right)$, that is a mapping $\tau :H\left(G\right)\to \left\{-1,+1\right\}$. An (integer) flow of $\left(G,\tau \right)$ is a valuation of its edges $f:E\to ℤ$ such that for every vertex $v$ of $G$ we have a Kirchoff like relation ${\sum }_{\left(e,v\right)\in H\left(G\right)}\tau \left(e,v\right).f\left(e\right)=0$. A nowhere-zero $q$-flow of $\left(G,\tau \right)$ is a flow $f$ such that for every edge $e$ of $G,\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}0<|f\left(e\right)|. An $m$-isthmus of $\left(G,\tau \right)$ is an edge where every flow takes value zero. The principal result obtained is on Bouchet’s conjecture : “Every bidirected graph without $m$-isthmus has a nowhere-zero 6-flow”.

La généralisation des nombres chromatiques ${\chi }_{n}\left(G\right)$ de Stahl a été un premier thème de travail avec François et a abouti à l’introduction de la notion de colorations généralisées et leurs nombres chromatiques associés, notées ${\chi }_{n}^{p,q}\left(G\right)$. Cette nouvelle notion a permis d’une part, d’infirmer avec Payan une conjecture posée par Brigham et Dutton, et d’autre part, d’étendre de manière naturelle la formule de récurrence de Stahl aux nombres chromatiques ${\chi }_{n}^{0,q}\left(G\right)$. Cette relation s’exprime comme ${\chi }_{n}^{0,q}\left(G\right)\ge {\chi }_{n-1}^{0,q}\left(G\right)+2$. La conjecture de Bouchet sur les 6-flots non-nuls dans les graphes biorientés a constitué une préoccupation importante de travaux communs avec François. Si $G=\left(V,E\right)$ est un graphe simple, l’ensemble des demi-arêtes de $G$ est l’ensemble $H\left(G\right)$ défini par $H\left(G\right)=\left\{\left(e,v\right)\in E×V;v\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}\text{est}\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\text{incident}\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\text{à}\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}e\right\}$. Un graphe biorienté est un couple $\left(G,\tau \right)$$\tau$ est une signature (appelée biorientation) de $H\left(G\right)$, c’est-à-dire une application $\tau :H\left(G\right)\to \left\{-1,+1\right\}$. Un flot (entier) de $\left(G,\tau \right)$ est une valuation de ses arêtes $f:E\to ℤ$ telle que pour tout sommet $v$ de $G$ on ait une relation de type Kirchoff ${\sum }_{\left(e,v\right)\in H\left(G\right)}\tau \left(e,v\right).f\left(e\right)=0.$ Un $q$-flot non nul de $\left(G,\tau \right)$ est un flot $f$ tel que pour toute arête $e$ de $G,\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}0<|f\left(e\right)|. Un $m$-isthme de $\left(G,\tau \right)$ est une arête où tout flot est nul. Le principal résultat porte sur la conjecture de A. Bouchet : “ Tout graphe biorienté sans $m$-isthme admet un 6-flot non nul”.

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Khelladi, Abdelkader. Colorations généralisées, graphes biorientés et deux ou trois choses sur François. Annales de l'Institut Fourier, Volume 49 (1999) no. 3, pp. 955-971. doi : 10.5802/aif.1701. http://www.numdam.org/item/AIF_1999__49_3_955_0/

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