Colorations généralisées, graphes biorientés et deux ou trois choses sur François
Annales de l'Institut Fourier, Volume 49 (1999) no. 3, p. 955-971

The generalization of Stahl’s chromatic numbers χ n (G) was a first topic of work with François which ended at the notion of generalized colorings and their associated chromatic numbers denoted χ n p,q (G). This notion allowed, in one hand to infirm with Payan a conjecture of Brigham and Dutton, and on the other hand to extend in a natural way Stahl’s recurrence relation to the chromatic numbers χ n 0,q (G). This relation is written as χ n 0,q (G)χ n-1 0,q (G)+2. Bouchet’s conjecture on the nowhere-zero 6-flow in bidirected graphs was an important topic of common research with François. If G=(V,E) is a simple graph, the set of half edges of G is the set denoted H(G) defined by H(G)={(e,v)E×V;visincidenttoe}. A bidirected graph is a couple (G,τ) where τ is a signature (called bidirection) of H(G), that is a mapping τ:H(G){-1,+1}. An (integer) flow of (G,τ) is a valuation of its edges f:E such that for every vertex v of G we have a Kirchoff like relation (e,v)H(G) τ(e,v).f(e)=0. A nowhere-zero q-flow of (G,τ) is a flow f such that for every edge e of G,0<|f(e)|<q. An m-isthmus of (G,τ) is an edge where every flow takes value zero. The principal result obtained is on Bouchet’s conjecture : “Every bidirected graph without m-isthmus has a nowhere-zero 6-flow”.

La généralisation des nombres chromatiques χ n (G) de Stahl a été un premier thème de travail avec François et a abouti à l’introduction de la notion de colorations généralisées et leurs nombres chromatiques associés, notées χ n p,q (G). Cette nouvelle notion a permis d’une part, d’infirmer avec Payan une conjecture posée par Brigham et Dutton, et d’autre part, d’étendre de manière naturelle la formule de récurrence de Stahl aux nombres chromatiques χ n 0,q (G). Cette relation s’exprime comme χ n 0,q (G)χ n-1 0,q (G)+2. La conjecture de Bouchet sur les 6-flots non-nuls dans les graphes biorientés a constitué une préoccupation importante de travaux communs avec François. Si G=(V,E) est un graphe simple, l’ensemble des demi-arêtes de G est l’ensemble H(G) défini par H(G)={(e,v)E×V;vestincidentàe}. Un graphe biorienté est un couple (G,τ)τ est une signature (appelée biorientation) de H(G), c’est-à-dire une application τ:H(G){-1,+1}. Un flot (entier) de (G,τ) est une valuation de ses arêtes f:E telle que pour tout sommet v de G on ait une relation de type Kirchoff (e,v)H(G) τ(e,v).f(e)=0. Un q-flot non nul de (G,τ) est un flot f tel que pour toute arête e de G,0<|f(e)|<q. Un m-isthme de (G,τ) est une arête où tout flot est nul. Le principal résultat porte sur la conjecture de A. Bouchet : “ Tout graphe biorienté sans m-isthme admet un 6-flot non nul”.

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Khelladi, Abdelkader. Colorations généralisées, graphes biorientés et deux ou trois choses sur François. Annales de l'Institut Fourier, Volume 49 (1999) no. 3, pp. 955-971. doi : 10.5802/aif.1701. http://www.numdam.org/item/AIF_1999__49_3_955_0/

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