Galois co-descent for étale wild kernels and capitulation
Annales de l'Institut Fourier, Volume 50 (2000) no. 1, p. 35-65

Let F be a number field with ring of integers o F . For a fixed prime number p and i2 the étale wild kernels WK 2i-2 e ´t (F) are defined as kernels of certain localization maps on the i-fold twist of the p-adic étale cohomology groups of spec o F [1 p]. These groups are finite and coincide for i=2 with the p-part of the classical wild kernel WK 2 (F). They play a role similar to the p-part of the p-class group of F. For class groups, Galois co-descent in a cyclic extension L/F is described by the ambiguous class formula given by genus theory. In this formula, the only factor which is not well mastered is the norm index [U F :U F N L/F (L * )] for the p-units U F . The aim of this paper is the study of the Galois co-descent for wild kernels: Given a cyclic extension L/F of degree p with Galois group G, we show that the transfer map WK 2i-2 e ´t (L) G WK 2i-2 e ´t (F) is onto except in a very special case, then we determine its kernel as the cokernel of a certain cup-product with values in a Brauer group. This approach also yields a genus formula, analogous to the one for class groups, comparing the sizes of WK 2i-2 e ´t (L) G and WK 2i-2 e ´t (F) where p-units U F are replaced by odd K-theory groups. When p is odd, we illustrate the method by finding all Galois p-extensions of Q, for which the p-part of the classical wild kernel is trivial. For p5,they turn out to be the layers of the cyclotomic Z p -extension of Q.

Soient F un corps de nombres et o F l’anneau des entiers de F. Pour un nombre premier fixé p et i2, les noyaux sauvages étales WK 2i-2 e ´t (F) sont définis comme étant les noyaux de certaines applications de localisation des groupes de cohomologie étale de spec o F [1 p] à coefficients dans le i-ème “tordu” de Tate de Z p . Ces groupes sont finis et coïncident, pour i=2, avec la partie p-primaire du noyau sauvage classique WK 2 (F). Ces noyaux sauvages WK 2i-2 e ´t (F) jouent des rôles symétriques aux p-parties du groupe des classes de F. Pour le groupe des classes, la co-descente galoisienne dans une extension cyclique L/F est décrite par la formule des classes ambiges donnée par la théorie des genres. Dans cette formule, le seul facteur qu’on maîtrise difficilement est l’indice normique [U F :U F N L/F (L * )] pour les p-unités U F . Le but principal de cet article est l’étude de la co-descente galoisienne pour les noyaux sauvages : Étant donnée une extension cyclique L/F de degré p de groupe de Galois G, on montre que l’application de transfert WK 2i-2 e ´t (L) G WK 2i-2 e ´t (F) est surjective sauf dans un cas très particulier, puis on réalise son noyau comme le conoyau d’un certain cup-produit à valeurs dans un groupe de Brauer. La méthode permet également d’obtenir pour les noyaux sauvages une formule analogue à celle des classes ambiges où les p-unités U F sont remplacées par les groupes de K-théorie impairs. Lorsque p est impair, cette formule permet de trouver toutes les p-extensions de Q pour lesquelles la p-partie du noyau sauvage classique est triviale. Pour p5, elles s’avèrent être celles qui sont contenues dans la Z p -extension cyclotomique de Q.

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Kolster, Manfred; Movahhedi, Abbas. Galois co-descent for étale wild kernels and capitulation. Annales de l'Institut Fourier, Volume 50 (2000) no. 1, pp. 35-65. doi : 10.5802/aif.1746. http://www.numdam.org/item/AIF_2000__50_1_35_0/

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