In a 1982 paper Rauzy showed that the subshift generated by the morphism , and is a natural coding of a rotation on the two-dimensional torus , i.e., is measure-theoretically conjugate to an exchange of three fractal domains on a compact set in each domain being translated by the same vector modulo a lattice. It was believed more generally that each sequence of block complexity satisfying a combinatorial criterion known as the condition of Arnoux and Rauzy codes the orbit of a point under a rotation on . In this note we exhibit a counterexample to this conjecture. We first build an Arnoux-Rauzy sequence which is unbalanced in the following sense: for each there exist two factors of of equal length, with one having at least more occurrences of a given letter than the other. We then invoke a result due to Rauzy on bounded remainder sets to establish the existence of an Arnoux-Rauzy sequence which is not a natural coding of a rotation on .
Dans un article de 1982, Rauzy a montré que le système engendré par le morphisme , , est un codage naturel d’une rotation sur le tore à deux dimensions , c’est-à-dire est mesurablement conjugué à un échange de trois domaines fractals sur un sous-ensemble compact de , chaque domaine étant codé par une lettre et translaté par le même vecteur modulo un réseau. Plus généralement, il était conjecturé que chaque suite de complexité satisfaisant une condition combinatoire dite condition d’Arnoux et Rauzy est un codage naturel d’une rotation de . Dans cette note nous donnons un contre-exemple à cette conjecture. Nous construisons d’abord une suite d’Arnoux-Rauzy qui est déséquilibrée dans le sens suivant : pour tout il existe deux facteurs de de même longueur dont l’un contient au moins apparitions d’une même lettre de plus que l’autre. Nous invoquons ensuite un résultat de Rauzy sur les ensembles à restes bornés pour établir l’existence d’une suite d’Arnoux-Rauzy qui n’est pas le codage naturel d’une rotation de .
@article{AIF_2000__50_4_1265_0, author = {Cassaigne, Julien and Ferenczi, S\'ebastien and Zamboni, Luca Q.}, title = {Imbalances in {Arnoux-Rauzy} sequences}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {1265--1276}, publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier}, volume = {50}, number = {4}, year = {2000}, doi = {10.5802/aif.1792}, mrnumber = {2001j:68097}, zbl = {01478822}, language = {en}, url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.1792/} }
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Cassaigne, Julien; Ferenczi, Sébastien; Zamboni, Luca Q. Imbalances in Arnoux-Rauzy sequences. Annales de l'Institut Fourier, Volume 50 (2000) no. 4, pp. 1265-1276. doi : 10.5802/aif.1792. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.1792/
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