Sections du fibré déterminant sur l'espace de modules des faisceaux semi-stables de rang 2 sur le plan projectif
Annales de l'Institut Fourier, Volume 50 (2000) no. 5, p. 1323-1374

Le Potier’s “Strange Duality” conjecture gives an isomorphism between the space of sections of the determinant bundle on two different moduli spaces of semi-stable sheaves on the projective plane 2 . If we consider two orthogonal classes c,u in the Grothendieck algebra K( 2 ) such that c is of positive rank and u of rank zero, we call M c and M u the moduli spaces of semi-stable sheaves of class c, respectively u on 2 . There exists on M c (resp. M u ) a determinant bundle 𝒟 u (resp. 𝒟 c ) and the product fibre bundle 𝒟 u ×𝒟 c on the product space M c ×M u has a canonical section σ c,u which provides a linear application D c,u :H 0 (M u ,𝒟 c ) * H 0 (M c ,𝒟 u ). If M c is not empty, D c,u is conjectured to be an isomorphism. We prove the conjecture in the particular case where c is of rank 2, zero first Chern class and second Chern class c 2 (c)19, and u is of degree d(u)=1 and zero Euler-Poincaré characteristic. We compute in this case the dimension of the space of global sections of the determinant bundle on M n =M c .

La conjecture de “dualité étrange” de Le Potier donne un isomorphisme entre l’espace des sections du fibré déterminant sur deux espaces de modules différents de faisceaux semi-stables sur le plan projectif 2 . Si on considère deux classes orthogonales c,u dans l’algèbre de Grothendieck K( 2 ) telles que c est de rang strictement positif et u est de rang zéro, on note M c et M u les espaces de modules de faisceaux semi-stables de classe c, respectivement u, sur 2 . Il existe sur M c (resp. M u ) un fibré déterminant 𝒟 u (resp. 𝒟 c ) et le produit tensoriel externe 𝒟 u ×𝒟 c sur l’espace produit M c ×M u a une section canonique σ c,u qui fournit une application linéaire D c,u :H 0 (M u ,𝒟 c ) * H 0 (M c ,𝒟 u ). Si M c n’est pas vide, la conjecture affirme que D c,u est un isomorphisme. Nous prouvons la conjecture dans le cas particulier où c est de rang 2, avec première classe de Chern nulle et deuxième classe de Chern c 2 (c)19, et u est de degré d(u)=1 et de caractéristique d’Euler-Poincaré nulle. Nous calculons dans ce cas la dimension de l’espace des sections globales du fibré déterminant sur M n =M c .

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Danila, Gentiana. Sections du fibré déterminant sur l'espace de modules des faisceaux semi-stables de rang 2 sur le plan projectif. Annales de l'Institut Fourier, Volume 50 (2000) no. 5, pp. 1323-1374. doi : 10.5802/aif.1795. http://www.numdam.org/item/AIF_2000__50_5_1323_0/

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