The Mumford-Tate group of 1-motives

Bertolin, Cristiana

Annales de l'Institut Fourier, Tome 52 (2002) no. 4, pp. 1041-1059.

Dans cet article on étudie la structure et les dégénérescences du groupe de Mumford-Tate $MT\left(M\right)$ d’un 1-motif $M$ défini sur $ℂ$. Ce groupe est un $\mathbb{Q}$-groupe algébrique qui agit sur la réalisation de Hodge de $M$ et qui est muni d’une filtration croissante $W_{•}$. On prouve que le radical unipotent de $MT\left(M\right)$, qui est $W_{-1}\left(MT\left(M\right)\right)$, s’injecte dans un groupe de Heisenberg “généralisé”. Ensuite on explique comment se réduire à l’étude du groupe de Mumford-Tate d’une somme directe de 1-motifs dont le groupe des caractères du tore et dont le réseau sont de rang 1. Puis on classifie et on étudie les dégénérescences de $MT\left(M\right)$, i.e. les phénomènes qui causent la chute de la dimension de $MT\left(M\right)$.

In this paper we study the structure and the degeneracies of the Mumford-Tate group $MT\left(M\right)$ of a 1-motive $M$ defined over $ℂ$. This group is an algebraic $\mathbb{Q}$- group acting on the Hodge realization of $M$ and endowed with an increasing filtration $W_{•}$. We prove that the unipotent radical of $MT\left(M\right)$, which is $W_{-1}\left(MT\left(M\right)\right)$, injects into a “generalized” Heisenberg group. We then explain how to reduce to the study of the Mumford-Tate group of a direct sum of 1-motives whose torus’character group and whose lattice are both of rank 1. Next we classify and we study the degeneracies of $MT\left(M\right)$, i.e., those phenomena which imply the decrement of the dimension of $MT\left(M\right)$.

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