L'octogone régulier et la signature des formes quadratiques entières non singulières  [ How Euclid's pupils proved Weil's quadratic reciprocity law. With an appendice of Géraldine Gahide ]
Annales de l'Institut Fourier, Volume 53 (2003) no. 3, p. 749-766
We give an "elementary proof" of what Milnor calls Milgram's formula.
La formule généralisant la loi de réciprocité quadratique de Legendre et exprimant le reste par huit de la signature d'une forme quadratique entière non dégénérée à l'aide d'une somme de Gauss est attribuée par Milnor à Milgram, la faisant remonter à Braun. Le formalisme de Witt la réduit au cas de dimension 1 que Chandrasekharan attribue à Cauchy et Kronecker. Braun soulignait que les preuves de ces formules nécessitent des moyens d'analyse. Une propriété métrique de l'octogone régulier permet d'en donner une "démonstration de collégienne" et de reculer les attributions à l'époque d'Euclide.
DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1958
Classification:  15A63,  11E81,  11A15,  11L07
Keywords: Gauss sum, Witt groups, quadratic forms, signature
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Bailly, Catherine; Cabral, Maria de Jesus. L'octogone régulier et la signature des formes quadratiques entières non singulières. Annales de l'Institut Fourier, Volume 53 (2003) no. 3, pp. 749-766. doi : 10.5802/aif.1958. http://www.numdam.org/item/AIF_2003__53_3_749_0/

[1] J. Barge; J. Lannes; F. Latour; Et P. Vogel Appendice de Λ -Sphères, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 4e série, Tome 7 (1974) no. 4, pp. 494-505 | Numdam | MR 377939

[2] H. Braun Geschlechter quadratischer Formen, Journal für die reine und angewandte Mathematik, Tome 182 (1940), pp. 32-49 | Article | MR 2351 | Zbl 0022.29904

[3] K. Chandrasekharan Elliptic functions, Springer Verlag, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Tome 281 ; Chap IX (1985) | MR 808396 | Zbl 0575.33001

[4] J. Milnor; Et D. Husemoller Symmetric bilinear forms, Springer Verlag (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete) Tome B 73 et Appendix 4 (1973), pp. 24-26 | Zbl 0292.10016

[5] C. Moser Cours de quadratique : Formes et Topologie (rédaction de [7], à paraître (paraît-il) aux Publications de l'I.R.E.M.)

[6] J.-P. Serre Cours d'arithmétique, P.U.F. (1970) | Zbl 0225.12002

[7] Formes quadratiques et topologie, trois conférences, Tradition orale (1995)