Conjecture de Bloch et nombres de Milnor  [ Bloch conjecture and Milnor numbers ]
Annales de l'Institut Fourier, Volume 53 (2003) no. 6, p. 1739-1754
We deduce from the conductor formula, conjectured by S. Bloch, the relation predicted by P. Deligne between the total dimension of the vanishing cycles and the Milnor number of an isolated singularity. Thanks to S. Bloch's work, we can apply this result to relative curves; in the appendix, the case of an arbitrary proper singular locus is considered as well.
Nous déduisons de la formule du conducteur, conjecturée par S. Bloch, celle de P. Deligne exprimant, dans le cas d'une singularité isolée, la dimension totale des cycles évanescents en fonction du nombre de Milnor. En particulier, la formule de Deligne est établie en dimension relative un; en appendice, on généralise cet énoncé au cas d'un lieu singulier propre.
DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1991
Classification:  14H10,  14D06,  14B07,  14D15
Keywords: isolated singularity, Milnor number, Euler characteristic, Swan conductor, compactification, formal scheme 
@article{AIF_2003__53_6_1739_0,
     author = {Orgogozo, Fabrice},
     title = {Conjecture de Bloch et nombres de Milnor},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Association des Annales de l'institut Fourier},
     volume = {53},
     number = {6},
     year = {2003},
     pages = {1739-1754},
     doi = {10.5802/aif.1991},
     zbl = {1065.14005},
     mrnumber = {2038779},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/AIF_2003__53_6_1739_0}
}

Orgogozo, Fabrice. Conjecture de Bloch et nombres de Milnor. Annales de l'Institut Fourier, Volume 53 (2003) no. 6, pp. 1739-1754. doi : 10.5802/aif.1991. http://www.numdam.org/item/AIF_2003__53_6_1739_0/

[Art76] M. Artin Lectures on deformations of singularities, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay (1976) | Zbl 0395.14003

[Ber96] V.G. Berkovich Vanishing cycles for formal schemes. II, Invent. Math, Tome 125 (1996) no. 2, pp. 367-390 | Article | MR 1395723 | Zbl 0852.14002

[Blo87] S. Bloch Cycles on arithmetic schemes and Euler characteristics of curves, Algebraic geometry, Bowdoin, 1985 (Brunswick, Maine, 1985), Amer. Math. Soc., Providence, RI (1987), pp. 421-450 | Zbl 0654.14004

[Bou80] N. Bourbaki Éléments de mathématiques, Masson, Paris, Algèbre, Algèbre homologique, Tome Chapitre 10 (1980) | MR 610795 | Zbl 0455.18010

[Eis95] D. Eisenbud Commutative algebra, with a view toward algebraic geometry, Springer-Verlag, New York (1995) | MR 1322960 | Zbl 0819.13001

[Elk73] R. Elkik Solutions d'équations à coefficients dans un anneau hensélien, Ann. Sci. École Norm. Sup (4), Tome 6 (1973), p. 553-603 (1974) | Numdam | MR 345966 | Zbl 0327.14001

[Ful98] W. Fulton Intersection theory, Springer-Verlag, Berlin, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 3. Folge, Tome vol. 2 (1998) | MR 1644323 | Zbl 0885.14002

[Gro69] A. Grothendieck Éléments de géométrie algébrique, pp. 1960-1969 | Numdam

[Ill00] L. Illusie Perversité et variation (2000) (prépublication) | Zbl 1036.14008

[Ill72] L. Illusie Complexe cotangent et déformations. I., Springer-Verlag, Berlin, Lecture Notes in Mathematics, Tome Vol. 239 (1971) | MR 491680 | Zbl 0224.13014

[Ill72] L. Illusie Complexe cotangent et déformations. II., Springer-Verlag, Berlin, Lecture Notes in Mathematics, Tome Vol. 283 (1972) | MR 491681 | Zbl 0238.13017

[Ill99] L. Illusie Sur les conjectures de Milnor, Bloch, etc. et les classes de Chern à supports (1999) (note non publiée)

[KM76] F.F. Knudsen; D. Mumford The projectivity of the moduli space of stable curves. I. Preliminaries on ``det'' and ``Div'', Math. Scand, Tome 39 (1976) no. 1, pp. 19-55 | MR 437541 | Zbl 0343.14008

[KS01] K. Kato; T. Saito Conductor formula of Bloch (2001) (prépublication)

[KSS88] K. Kato; S. Saito; T. Saito Artin characters for algebraic surfaces, Amer. J. Math, Tome 110 (1988) no. 1, pp. 49-75 | Article | MR 926738 | Zbl 0673.14020

[Lau81] G. Laumon Semi-continuité du conducteur de Swan (d'après P. Deligne), Soc. Math. France, Paris, Astérisque, Tome vol. 83 (1981) | MR 629128 | Zbl 0504.14013

[Sai00] T. Saito Parity in Bloch's conductor formula (2000) (prépublication)

[Sai88] T. Saito Self-intersection 0-cycles ans coherent sheaves on arithmetic schemes, Duke Math. J., Tome 57 (1988) no. 2, pp. 555-578 | Article | MR 962520 | Zbl 0687.14004