Traces and quasi-traces on the Boutet de Monvel algebra
[Construction des traces et quasi-traces sur l'algèbre de Boutet de Monvel]
Annales de l'Institut Fourier, Tome 54 (2004) no. 5, pp. 1641-1696.

On construit une fonctionelle analogue à la trace canonique de Kontsevich et Vishik, pour les problèmes aux limites pseudodifférentielles appartenant au calcul de Boutet de Monvel, sur les variétés compactes à bord. Pour un opérateur A de ce calcul (et de classe zéro), avec un opérateur auxiliaire B formé de la réalisation de Dirichlet d’un opérateur différentiel fortement elliptique du second ordre et d’un opérateur elliptique sur le bord, nous considérons le coefficient C 0 (A,B) de (-λ) -N dans le développement asymptotique de la trace de la résolvante Tr (A(B-λ) -N ), avec N grand, dans les puissances et puissances logarithmiques de λ. Ce coefficient s’identifie au coefficient d’ordre zéro dans la série de Laurent pour la fonction zêta Tr (AB -s ) en s=0, quand B est inversible. On montre que C 0 (A,B) est en général une quasi-trace, en ce sens qu’elle s’annule sur les commutateurs [A,A ' ] modulo des termes locaux, ayant une valeur spécifique indépendante de l’opérateur auxiliaire, modulo des termes locaux. Les «erreurs» locales sont nulles quand A est un opérateur de Green singulier d’ordre non entier, ou d’ordre entier avec une certaine parité ; ainsi C 0 (A,B) est une trace sur A dans ces cas. Mais les «erreurs» ne sont en général pas nulles quand la partie intérieure o.ps.d. de A est non-triviale.

We construct an analogue of Kontsevich and Vishik’s canonical trace for pseudodifferential boundary value problems in the Boutet de Monvel calculus on compact manifolds with boundary. For an operator A in the calculus (of class zero), and an auxiliary operator B, formed of the Dirichlet realization of a strongly elliptic second-order differential operator and an elliptic operator on the boundary, we consider the coefficient C 0 (A,B) of (-λ) -N in the asymptotic expansion of the resolvent trace Tr (A(B-λ) -N ) (with N large) in powers and log-powers of λ. This coefficient identifies with the zero-power coefficient in the Laurent series for the zeta function Tr (AB -s ) at s=0, when B is invertible. We show that C 0 (A,B) is in general a quasi-trace, in the sense that it vanishes on commutators [A,A ' ] modulo local terms, and has a specific value independent of the auxiliary operator, modulo local terms. The local “errors” vanish when A is a singular Green operator of noninteger order, or of integer order with a certain parity; then C 0 (A,B) is a trace of A. They do not in general vanish when the interior ps.d.o. part of A is nontrivial.

DOI : 10.5802/aif.2062
Classification : 58J42, 35S15
Grubb, Gerd 1 ; Schrohe, Elmar 

1 Copenhagen University, Mathematics Department, Universitetsparken 5, 2100 Copenhagen (Danemark), Institut für Mathematik, Universität Hannover, Welfengarten 1, 30167 Hannover (Allemagne)
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Grubb, Gerd; Schrohe, Elmar. Traces and quasi-traces on the Boutet de Monvel algebra. Annales de l'Institut Fourier, Tome 54 (2004) no. 5, pp. 1641-1696. doi : 10.5802/aif.2062. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.2062/

[B] L. Boutet De Monvel, Boundary problems for pseudo-differential operators, Acta Math 126 (1971) p. 11-51 | MR | Zbl

[FGLS] B. V. Fedosov, F. Golse, E. Leichtnam & E. Schrohe, The noncommutative residue for manifolds with boundary, J. Funct. Anal 142 (1996) p. 1-31 | MR | Zbl

[G1] G. Grubb, Singular Green operators and their spectral asymptotics, Duke Math. J 51 (1984) p. 477-528 | MR | Zbl

[G2] G. Grubb, Functional calculus of pseudodifferential boundary problems, Second Edition (first edition issued 1986), Progress in Math. vol. 65, Birkhäuser, 1996 | MR | Zbl

[G3] G. Grubb, A weakly polyhomogeneous calculus for pseudodifferential boundary problems, J. Funct. Anal 184 (2001) p. 19-76 | MR | Zbl

[G4] G. Grubb, A resolvent approach to traces and determinants, AMS Contemp. Math. Proc 366 (2005) p. 67-93 | MR | Zbl

[G5] G. Grubb, Spectral boundary conditions for generalizations of Laplace and Dirac operators, Comm. Math. Phys 240 (2003) p. 243-280 | MR | Zbl

[G6] G. Grubb, Logarithmic terms in trace expansions of Atiyah-Patodi-Singer problems, Ann. Global Anal. Geom 24 (2003) p. 1-51 | MR | Zbl

[GH] G. Grubb & L. Hansen, Complex powers of resolvents of pseudodifferential operators, Comm. Part. Diff. Eq 27 (2002) p. 2333-2361 | MR | Zbl

[GSc] G. Grubb & E. Schrohe, Trace expansions and the noncommutative residue for manifolds with boundary, J. Reine Angew. Math. (Crelle's Journal) 536 (2001) p. 167-207 | MR | Zbl

[GS1] G. Grubb & R. Seeley, Weakly parametric pseudodifferential operators and Atiyah-Patodi-Singer boundary problems, Invent. Math. 121 (1995) p. 481-529 | EuDML | MR | Zbl

[GS2] G. Grubb & R. Seeley, Zeta and eta functions for Atiyah-Patodi-Singer operators, J. Geom. Anal. 6 (1996) p. 31-77 | MR | Zbl

[Gu] V. Guillemin, A new proof of Weyl's formula on the asymptotic distribution of eigenvalues, Adv. Math 102 (1985) p. 184-201 | Zbl

[H] J. Hadamard, Le problème de Cauchy et les équations aux dérivées partielles linéaires hyperboliques, Hermann, 1932 | JFM | Zbl

[KV] M. Kontsevich & S. Vishik, Geometry of determinants of elliptic operators, Progr. Math. 131, Birkhäuser, 1995, p. 173-197 | Zbl

[L] M. Lesch, On the noncommutative residue for pseudodifferential operators with log-polyhomogeneous symbols, Ann. Global Anal. Geom 17 (1999) p. 151-187 | MR | Zbl

[MN] R. Melrose & V. Nistor, Homology of pseudodifferential operators I. Manifolds with boundary, e-print manuscript, arXiv:funct-an/9606005

[O] K. Okikiolu, The multiplicative anomaly for determinants of elliptic operators, Duke Math. J. 79 (1995) p. 723-750 | MR | Zbl

[S] R. T. Seeley, Complex powers of an elliptic operator, Amer. Math. Soc. Proc. Symp. Pure Math 10 (1967) p. 288-307 | MR | Zbl

[W] M. Wodzicki, Local invariants of spectral asymmetry, Invent. Math 75 (1984) p. 143-178 | EuDML | MR | Zbl

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