An obstruction to homogeneous manifolds being Kähler

Gilligan, Bruce

Annales de l'Institut Fourier, Tome 55 (2005) no. 1, pp. 229-241.

Soit $G$ un groupe de Lie complexe, $H$ un sous-groupe complexe fermé de $G$, et $X:=G/H$. Soit $R$ le radical et $S$ un sous-groupe semi-simple maximal de $G$. La construction d’exemples de variétés non compactes $X$ homogènes d’un produit semi-direct $G=S⋉R$, possédant une métrique kählérienne pas nécessairement invariante par $G$, a suscité ce travail. L’orbite $S/S\cap H$ de $S$ dans $X$ est kählérienne. Donc $S\cap H$ est un sous-groupe algébrique de $S$ [4]. La présence d’une structure kählérienne sur $X$ devrait impliquer que l’action de $S$ sur la base $Y$ de chaque fibration homogène $X\to Y$ soit algébrique. Des considérations naturelles permettent de se placer dans le cas d’un sous-groupe discret $H=\Gamma$ et d’une fibration homogène $X=G/\Gamma \to G/I=:Y$, où le sous-groupe $I^{\circ }$ est abélien et normal dans $G$ et la fibre $I^{\circ }/(I^{\circ }\cap \Gamma )$ est un groupe de Cousin. Une telle condition algébrique existe alors dans cet espace homogène $Y=\widehat{G}/\widehat{\Gamma }$, où $\widehat{G}:=G/I^{\circ }$ et $\widehat{\Gamma }:=I/I^{\circ }$. Ceci signifie que l’existence d’un élément $\widehat{g}\in \widehat{\Gamma }$ d’ordre infini appartenant à un sous-groupe semi-simple $\widehat{S}$ de $\widehat{G}$ est une obstruction à l’existence d’une métrique kählérienne sur $X$. Ainsi $X$ kählérien implique que $\widehat{S}\cap \widehat{\Gamma }$ fini.

Let $G$ be a connected complex Lie group, $H$ a closed, complex subgroup of $G$ and $X:=G/H$. Let $R$ be the radical and $S$ a maximal semisimple subgroup of $G$. Attempts to construct examples of noncompact manifolds $X$ homogeneous under a nontrivial semidirect product $G=S⋉R$ with a not necessarily $G$-invariant Kähler metric motivated this paper. The $S$-orbit $S/S\cap H$ in $X$ is Kähler. Thus $S\cap H$ is an algebraic subgroup of $S$ [4]. The Kähler assumption on $X$ ought to imply the $S$-action on the base $Y$ of any homogeneous fibration $X\to Y$ is algebraic too. Natural considerations allow a reduction to the case where $H=\Gamma$ is a discrete subgroup and there is a homogeneous fibration $X=G/\Gamma \to G/I=:Y$ with $I^{\circ }$ an abelian, normal subgroup of $G$ and the fiber $I^{\circ }/(I^{\circ }\cap \Gamma )$ a Cousin group. An algebraic condition does hold in the homogeneous manifold $Y=\widehat{G}/\widehat{\Gamma }$, where $\widehat{G}:=G/I^{\circ }$ and $\widehat{\Gamma }:=I/I^{\circ }$, namely, an element $\widehat{g}\in \widehat{\Gamma }$ of infinite order lying in a semisimple subgroup $\widehat{S}$ of $\widehat{G}$ is an obstruction to the existence of a Kähler metric on $X$. So $X$ Kähler implies $\widehat{S}\cap \widehat{\Gamma }$ finite.

Classification : 32M10, 32Q15
Keywords: homogeneous complex manifolds, Kähler manifolds
Mot clés : espaces homogènes complexes, espaces kählériens

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