Uniformisation des variétés de Laumon-Rapoport-Stuhler et conjecture de Drinfeld-Carayol  [ Uniformization of Laumon-Rapoport-Stuhler varieties and Drinfeld-Carayol conjecture ]
Annales de l'Institut Fourier, Volume 55 (2005) no. 4, p. 1285-1371
Let us consider Laumon-Rapoport-Stuhler modular varieties for “D- elliptic sheaves”, which are defined over a function field F in one variable over a finite field, for a division algebra D of dimension d 2 over F. We show that these varieties admit, at a place o of F where D o is a skew field of invariant 1/d, a rigid-analytic uniformization by Drinfeld’s space Ω d , or by the coverings Σ n d of Ω d (depending on the level structure). This result is the analogue of Čerednik’s theorem, which is well known in the number field case. As an application, we prove a conjecture of Carayol’s : the inductive limit Ψ d over n of the -adic cohomology groups with support, in median degree, of the coverings Σ n d - on wich the product GL d (F o )×D o * ×W F o acts - yields a geometrical simultaneous realization of the local Langlands and Jacquet-Langlands correspondences. Our proof is of “global” nature : using the uniformization theorem, we compare the local representation Ψ d to the global cohomology of the moduli variety .
Considérons les variétés de “D-faisceaux elliptiques” introduites par Laumon, Rapoport et Stuhler, définies sur un corps de fonctions F d’une variable sur un corps fini, où D est une algèbre de division de dimension d 2 sur F. Nous montrons que ces variétés admettent, en une place o de FD o est un corps gauche d’invariant 1/d, une uniformisation rigide-analytique par l’espace de Drinfeld Ω d , ou par les revêtements Σ n d de Ω d (selon la structure de niveau). Ce résultat constitue l’analogue du théorème de Čerednik bien connu dans le cas des corps de nombres. Comme application, nous démontrons une conjecture de Carayol : la limite inductive Ψ d , suivant n, des groupes de cohomologie -adique avec support, en degré médian, des revêtements Σ n d - sur laquelle agit le produit GL d (F o )×D o * ×W F o - constitue une réalisation géométrique simultanée des correspondances locales de Langlands et de Jacquet-Langlands (du moins pour les cuspidales). Notre preuve est de nature “globale” : via le théorème d’uniformisation, on compare la représentation locale Ψ d à la cohomologie globale de la variété modulaire .
DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2126
Classification:  11G,  11S37,  11G09,  11G18,  14G22
Keywords: Rigid-analytic uniformization, Drinfeld modular varieties, local Langlands correspondence
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Hausberger, Thomas. Uniformisation des variétés de Laumon-Rapoport-Stuhler et conjecture de Drinfeld-Carayol. Annales de l'Institut Fourier, Volume 55 (2005) no. 4, pp. 1285-1371. doi : 10.5802/aif.2126. http://www.numdam.org/item/AIF_2005__55_4_1285_0/

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