Sommes des chiffres de multiples d'entiers

Dartyge, Cécile; Tenenbaum, Gérald

Annales de l'Institut Fourier, Tome 55 (2005) no. 7, pp. 2423-2474.

Soit $q\in \mathbb{N}$, $q\ge 2$. Pour $n\in \mathbb{N}$, on note $s_q\left(n\right)$ la somme des chiffres de $n$ en base $q$. Nous donnons des majorations de sommes d’exponentielles de la forme

$$G(x,y,\theta ;\alpha ,𝐡)=\sum _{x<n\le x+y}exp\left(2i\pi ({\alpha }_1{s}_q\left(h_{1}n\right)+\cdots +{\alpha }_r{s}_q\left(h_{r}n\right)+\theta n)\right),$$

pour $r\in {\mathbb{N}}^{*}$, $𝐡\in {\mathbb{N}}^{*r}$ et $\theta \in r$. De telles sommes ont déjà été étudiées dans le cas $r=1$ par Gelfond, et pour $r\ge 2$ entre autre par Coquet et Solinas. Nos résultats étendent le domaine de validité en $𝐡$ de ces précédents travaux pour $r\ge 2$, sont plus précis et ont l’avantage d’être uniformes en $x$ et $r$ et effectifs en $𝐡$. Ce contrôle soigneux des paramètres nous permet d’obtenir divers types d’applications. Nous montrons par exemple que pour $k\ge 2$ il existe une infinité d’entiers $n$ avec exactement $k$ facteurs premiers et vérifiant $s_q\left(n\right)\equiv am$ (pour $(m,q-1)=1$). Nous obtenons également des majorations de sommes de la forme ${\sum }_{n\le x}exp\left(2i\pi \alpha s_q\left(hn\right)\right)f\left(n\right)$ où $f$ est une fonction multiplicative de module au plus $1$.

Let $q\in \mathbb{N}$, $q\ge 2$. For $n\in \mathbb{N}$, denote by $s_q\left(n\right)$ the sum of digits of $n$ in the $q$-ary digital expansion. We give upper bounds for exponential sums like

$$G(x,y,\theta ;\alpha ,bfh)=\sum _{x<n\le x+y}exp\left(2i\pi ({\alpha }_1{s}_q\left(h_{1}n\right)+\cdots +{\alpha }_r{s}_q\left(h_{r}n\right)+\theta n)\right),$$

with $r\in {\mathbb{N}}^{*}$, $𝐡\in {\mathbb{N}}^{*r}$ and $\theta \in r$. The case $r=1$ has already been studied by Gelfond and the case $r\ge 2$ by Coquet and Solinas. For $r\ge 2$, our results are more precises and significative for a wider range of $𝐡$. Furthermore they are uniform in $x$ and $\theta$ and explicits in $𝐡$. The control of these parameters is crucial for various applications given in the paper. For example we prove that if $k\in \mathbb{N}$, $k\ge 2$, there exists infinitely many integers $n$ with exactly $k$ prime factors and such that $s_q\left(n\right)\equiv am$ (for $(m,q-1)=1$). We also obtain upper bounds of sums of the form ${\sum }_{n\le x}exp\left(2i\pi \alpha s_q\left(hn\right)\right)f\left(n\right)$ where $f$ is a multiplicative fonction of modulus less than $1$.

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