Approche visqueuse de solutions discontinues de systèmes hyperboliques semilinéaires
Annales de l'Institut Fourier, Tome 56 (2006) no. 1, pp. 183-245.

On s’intéresse à des systèmes symétriques hyperboliques multidimensionnels en présence d’une semilinéarité. Il est bien connu que ces systèmes admettent des solutions discontinues, régulières de part et d’autre d’une hypersurface lisse caractéristique de multiplicité constante. Une telle solution u 0 étant donnée, on montre que u 0 est limite quand ε0 de solutions (u ε ) ε]0,1] du système perturbé par une viscosité de taille ε. La preuve utilise un problème mixte parabolique et des développements de couches limites. On s’intéresse aussi à des singularités plus faibles comme des sauts de dérivées.

We are interested in some multidimensional semilinear symmetric hyperbolic systems. It is well known that these systems have some discontinuous solutions which are regular outside of a smooth hypersurface characteristic of constant multiplicity. We suppose that such a solution u 0 is given and we show that u 0 is the limit, when ε0, of solutions (u ε ) ε]0,1] of the system perturbated by a viscosity of size ε. The key tools of the proof are a parabolic boundary problem and boundary layers expansions. We also consider weaker singularities as derivatives jumps.

DOI : 10.5802/aif.2177
Classification : 35F30, 35K50, 35R05
Mots clés : approche visqueuse, couches limites, solutions discontinues
Sueur, Franck 1

1 Université de Provence Laboratoire d’Analyse, Topologie et Probabilités Centre de mathématiques et d’informatique 39 rue F. Joliot-Curie 13453 Marseille (France)
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Sueur, Franck. Approche visqueuse de solutions discontinues de systèmes hyperboliques semilinéaires. Annales de l'Institut Fourier, Tome 56 (2006) no. 1, pp. 183-245. doi : 10.5802/aif.2177. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.2177/

[1] Bardos, C.; Brézis, D.; Brezis, H. Perturbations singulières et prolongements maximaux d’opérateurs positifs, Arch. Rational Mech. Anal., Volume 53 (1973/74), pp. 69-100 | DOI | MR | Zbl

[2] Bardos, Claude Problèmes aux limites pour les équations aux dérivées partielles du premier ordre à coefficients réels ; théorèmes d’approximation ; application à l’équation de transport, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Volume 3 (1970), pp. 185-233 | Numdam | MR | Zbl

[3] Bardos, Claude; Rauch, Jeffrey Maximal positive boundary value problems as limits of singular perturbation problems, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 270 (1982) no. 2, pp. 377-408 | DOI | MR | Zbl

[4] Carbou, Gilles; Fabrie, Pierre; Guès, Olivier Couche limite dans un modèle de ferromagnétisme, Comm. Partial Differential Equations, Volume 27 (2002) no. 7-8, pp. 1467-1495 | DOI | MR | Zbl

[5] Carbou, Gilles; Fabrie, Pierre; Guès, Olivier On the ferromagnetism equations in the non static case, Commun. Pure Appl. Anal., Volume 3 (2004) no. 3, pp. 367-393 | DOI | MR | Zbl

[6] Gisclon, Marguerite Étude des conditions aux limites pour un système strictement hyperbolique, via l’approximation parabolique, J. Math. Pures Appl. (9), Volume 75 (1996) no. 5, pp. 485-508 | MR | Zbl

[7] Goodman, Jonathan; Xin, Zhou Ping Viscous limits for piecewise smooth solutions to systems of conservation laws, Arch. Rational Mech. Anal., Volume 121 (1992) no. 3, pp. 235-265 | DOI | MR | Zbl

[8] Grenier, Emmanuel; Guès, Olivier Boundary layers for viscous perturbations of noncharacteristic quasilinear hyperbolic problems, J. Differential Equations, Volume 143 (1998) no. 1, pp. 110-146 | DOI | MR | Zbl

[9] Guès, Olivier Problème mixte hyperbolique quasi-linéaire caractéristique, Comm. Partial Differential Equations, Volume 15 (1990) no. 5, pp. 595-645 | DOI | MR | Zbl

[10] Guès, Olivier Perturbations visqueuses de problèmes mixtes hyperboliques et couches limites, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Volume 45 (1995) no. 4, pp. 973-1006 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[11] Guès, Olivier; Métivier, Guy; Williams, Mark; Zumbrun, Kevin Multidimensional viscous shocks. II. The small viscosity limit, Comm. Pure Appl. Math., Volume 57 (2004) no. 2, pp. 141-218 | DOI | MR | Zbl

[12] Guès, Olivier; Métivier, Guy; Williams, Mark; Zumbrun, Kevin Existence and stability of multidimensional shock fronts in the vanishing viscosity limit, Arch. Ration. Mech. Anal., Volume 175 (2005) no. 2, pp. 151-244 | DOI | MR | Zbl

[13] Guès, Olivier; Williams, Mark Curved shocks as viscous limits : a boundary problem approach, Indiana Univ. Math. J., Volume 51 (2002) no. 2, pp. 421-450 | DOI | MR | Zbl

[14] Kato, Tosio Nonstationary flows of viscous and ideal fluids in R 3 , J. Functional Analysis, Volume 9 (1972), pp. 296-305 | DOI | MR | Zbl

[15] Klainerman, Sergiu; Majda, Andrew Singular limits of quasilinear hyperbolic systems with large parameters and the incompressible limit of compressible fluids, Comm. Pure Appl. Math., Volume 34 (1981) no. 4, pp. 481-524 | DOI | MR | Zbl

[16] Kreiss, Heinz-Otto; Lorenz, Jens Initial-boundary value problems and the Navier-Stokes equations, Pure and Applied Mathematics, 136, Academic Press Inc., Boston, MA, 1989 | MR | Zbl

[17] Métivier, Guy The Cauchy problem for semilinear hyperbolic systems with discontinuous data, Duke Math. J., Volume 53 (1986) no. 4, pp. 983-1011 | MR | Zbl

[18] Métivier, Guy Problèmes de Cauchy et ondes non linéaires, Journées “Équations aux dérivées partielles” (Saint Jean de Monts, 1986), École Polytech., Palaiseau, 1986 (exposé no I, 29 pages) | Numdam | MR | Zbl

[19] Métivier, Guy Ondes soniques, J. Math. Pures Appl. (9), Volume 70 (1991) no. 2, pp. 197-268 | MR | Zbl

[20] Métivier, Guy; Zumbrun, Kevin Large viscous boundary layers for noncharacteristic nonlinear hyperbolic problems, Mem. Amer. Math. Soc., Volume 175 (2005) no. 826, pp. vi+107 | MR | Zbl

[21] Rauch, J. Boundary value problems as limits of problems in all space, Séminaire Goulaouic-Schwartz (1978/1979), École Polytech., Palaiseau, 1979 (exposé no 3, 17 pages) | Numdam | MR | Zbl

[22] Rauch, Jeffrey Symmetric positive systems with boundary characteristic of constant multiplicity, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 291 (1985) no. 1, pp. 167-187 | DOI | MR | Zbl

[23] Rousset, Frédéric Inviscid boundary conditions and stability of viscous boundary layers, Asymptot. Anal., Volume 26 (2001) no. 3-4, pp. 285-306 | MR | Zbl

[24] Rousset, Frederic Viscous approximation of strong shocks of systems of conservation laws, SIAM J. Math. Anal., Volume 35 (2003) no. 2, pp. 492-519 (electronic) | DOI | MR | Zbl

[25] Serre, Denis Systèmes de lois de conservation. I, Fondations. [Foundations], Diderot Editeur, Paris, 1996 (Hyperbolicité, entropies, ondes de choc. [Hyperbolicity, entropies, shock waves]) | MR | Zbl

[26] Sueur, Franck Couches limites semilinéaires (à paraître aux Annales de la faculté des sciences de Toulouse) | Numdam

[27] Sueur, Franck Couches limites : un problème inverse (à paraître dans Communications in PDE)

Cité par Sources :