On Lars Hörmander’s remark on the characteristic Cauchy problem

Nicolas, Jean-Philippe

Annales de l'Institut Fourier, Tome 56 (2006) no. 3, pp. 517-543.

Nous étendons des résultats dus à L. Hörmander [9] concernant la résolution du problème de Cauchy caractéristique pour des équations d’onde du second ordre avec un potentiel régulier du premier ordre. Le cadre géométrique de [9] était un espace-temps spatialement compact avec une métrique régulière. L’hypersurface sur laquelle les données initiales sont fixées était spatiale ou caractéristique en chaque point et simplement de régularité Lipschitz. Nous affaiblissons les hypothèses de régularité sur la métrique et le potentiel et nous obtenons des résultats analogues. Le problème de Cauchy pour une hypersurface spatiale est résolu dans le cas d’une métrique Lipschitz et pour un potentiel dont les coefficients sont localement $L^{\infty }$, avec le même espace de solutions que dans le cas régulier. Nous résolvons également le problème de Cauchy totalement caractéristique dans un cadre très légèrement plus régulier  : essentiellement, une métrique ${𝒞}^1$ et un potentiel dont les coefficients des termes du premier ordre sont continus et ceux des termes d’ordre $0$ sont localement $L^{\infty }$.

We extend the results of a work by L. Hörmander [9] concerning the resolution of the characteristic Cauchy problem for second order wave equations with regular first order potentials. The geometrical background of this work was a spatially compact spacetime with smooth metric. The initial data surface was spacelike or null at each point and merely Lipschitz. We lower the regularity hypotheses on the metric and potential and obtain similar results. The Cauchy problem for a spacelike initial data surface is solved for a Lipschitz metric and coefficients of the first order potential that are $L_{\mathrm{loc}}^{\infty }$, with the same finite energy solution space as in the smooth case. We also solve the fully characteristic Cauchy problem with very slightly more regular metric and potential : essentially, a ${𝒞}^1$ metric and a potential with continuous coefficients of the first order terms and locally $L^{\infty }$ coefficients for the terms of order $0$.

Classification : 35A05, 35L05, 35L15
Keywords: Wave equation, Cauchy problem, characteristic Cauchy problem, very weak regularity
Mot clés : Équation des ondes, problème de Cauchy, problème de Cauchy caractéristique, très faible régularité

[1] Baez, J. C; Segal, I. E.; Zhou, Z. F. The global Goursat problem and scattering for nonlinear wave equations, J. Funct. Anal., Volume 93 (1990), pp. 239-269 | DOI | MR | Zbl

[2] Christodoulou, D; Klainerman, S. The global nonlinear stability of the Minkowski space, Princeton Mathematical, Volume 41 (1993), pp. x+514 | MR | Zbl

[3] Chrusciel, P.; Delay, E. E. Existence of non trivial, asymptotically vacuum, asymptotically simple space-times, Class. Quantum Grav., Volume 19 (2002), p. L71-L79 | DOI | MR | Zbl

[4] Chrusciel, P.; Delay, E. E. On mapping properties of the general relativistic constraints operator in weighted function spaces, with applications, 94, Mémoires de la S.M.F., 2003 (103 pages) | Numdam | MR | Zbl

[5] Corvino, J. Scalar curvature deformation and a gluing construction for the Einstein constraint equations, Comm. Math. Phys., Volume 214 (2000), pp. 137-189 | DOI | MR | Zbl

[6] Corvino, J.; Schoen, R. M. On the asymptotics for the vacuum Einstein constraint equations (gr-qc 0301071) | Zbl

[7] Friedlander, F. G. Radiation fields and hyperbolic scattering theory, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., Volume 88 (1980), pp. 483-515 | DOI | MR | Zbl

[8] Friedlander, F. G. Notes on the wave equation on asymptotically Euclidean manifolds, J. Functional Anal., Volume 184 (2001), pp. 1-18 | DOI | MR | Zbl

[9] Hörmander, L. A remark on the characteristic Cauchy problem, J. Funct. Anal., Volume 93 (1990), pp. 270-277 | DOI | MR | Zbl

[10] Klainerman, S.; Nicolò, F. Peeling properties of asymptotically flat solutions to the Einstein vacuum equations, Class. Quantum Grav., Volume 20 (2003) no. 14, pp. 3215-3257 | DOI | MR | Zbl

[11] Mason, L. J.; Nicolas, J.-P. Conformal Scattering and the Goursat problem, J. Hyperbolic. Diff. Eq., Volume 1 (2004) no. 2, pp. 197-233 | DOI | MR | Zbl

[12] Penrose, R. Null hypersurface initial data for classical fields of arbitrary spin and for general relativity, in Aerospace Research Laboratories report 63-56 (P.G. Bergmann), Vol. 12, 1963 pp. 225-264, Reprinted (1980) in Gen. Rel. Grav. | MR | Zbl