On Lars Hörmander’s remark on the characteristic Cauchy problem

Nicolas, Jean-Philippe

Annales de l'Institut Fourier, Tome 56 (2006) no. 3, pp. 517-543.

Nous étendons des résultats dus à L. Hörmander [9] concernant la résolution du problème de Cauchy caractéristique pour des équations d’onde du second ordre avec un potentiel régulier du premier ordre. Le cadre géométrique de [9] était un espace-temps spatialement compact avec une métrique régulière. L’hypersurface sur laquelle les données initiales sont fixées était spatiale ou caractéristique en chaque point et simplement de régularité Lipschitz. Nous affaiblissons les hypothèses de régularité sur la métrique et le potentiel et nous obtenons des résultats analogues. Le problème de Cauchy pour une hypersurface spatiale est résolu dans le cas d’une métrique Lipschitz et pour un potentiel dont les coefficients sont localement $L^{\infty }$, avec le même espace de solutions que dans le cas régulier. Nous résolvons également le problème de Cauchy totalement caractéristique dans un cadre très légèrement plus régulier  : essentiellement, une métrique ${𝒞}^1$ et un potentiel dont les coefficients des termes du premier ordre sont continus et ceux des termes d’ordre $0$ sont localement $L^{\infty }$.

We extend the results of a work by L. Hörmander [9] concerning the resolution of the characteristic Cauchy problem for second order wave equations with regular first order potentials. The geometrical background of this work was a spatially compact spacetime with smooth metric. The initial data surface was spacelike or null at each point and merely Lipschitz. We lower the regularity hypotheses on the metric and potential and obtain similar results. The Cauchy problem for a spacelike initial data surface is solved for a Lipschitz metric and coefficients of the first order potential that are $L_{\mathrm{loc}}^{\infty }$, with the same finite energy solution space as in the smooth case. We also solve the fully characteristic Cauchy problem with very slightly more regular metric and potential : essentially, a ${𝒞}^1$ metric and a potential with continuous coefficients of the first order terms and locally $L^{\infty }$ coefficients for the terms of order $0$.

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