Représentations cristallines dans le cas d’un corps résiduel imparfait

Brinon, Olivier

Annales de l'Institut Fourier, Tome 56 (2006) no. 4, pp. 919-999.

Soit $K$ un corps de valuation discrète complet de caractéristique $0$, dont le corps résiduel $k_K$ est de caractéristique $p$. On suppose que $k_K$ admet une $p$-base finie. Soient $\overline{K}$ une clôture algébrique de $K$ et $G_K=\mathrm{Gal}\left(\overline{K}/K\right)$. On construit et étudie des anneaux de périodes $p$-adiques ${\mathrm{B}}_{\mathrm{cris}}\subset {\mathrm{B}}_{\mathrm{dR}}$ qui généralisent ceux définis par J.-M. Fontaine dans le cas où le corps résiduel $k_K$ est parfait. Ces anneaux sont munis des structures supplémentaires habituelles ainsi que d’une connexion. Ils permettent d’étendre les notions de représentation $p$-adique cristalline et de représentation $p$-adique de Rham de $G_K$ au cas où $k_K$ n’est pas parfait. Le résultat principal de ce travail est le fait que la catégorie des représentations $p$-adiques cristallines de $G_K$ est équivalente à la catégorie des $F$-isocristaux filtrés sur $K$ faiblement admissibles, ce qui généralise un théorème de P.Colmez et J.-M.Fontaine.

Let $K$ be a complete discrete valuation field of characteristic $0$, with residue field $k_K$ of characteristic $p$. We assume that $k_K$ admits a finite $p$-basis. Let $\overline{K}$ be an algebraic closure of $K$ and $G_K=\mathrm{Gal}\left(\overline{K}/K\right)$. We construct and study $p$-adic periods rings ${\mathrm{B}}_{\mathrm{cris}}\subset {\mathrm{B}}_{\mathrm{dR}}$ generalizing those defined by J.-M.Fontaine when $k_K$ is perfect. Those rings are endowed with the usual extra structures plus a connection. They allow to extend the notions of crystalline and de Rham $p$-adic representations of $G_K$ to the case of non perfect $k_K$. The main result of this work, generalizing a theorem of P.Colmez and J.-M.Fontaine, is the fact that the category of crystalline $p$-adic representations of $G_K$ is equivalent to the category of weakly admissible $F$-isocrystals filtered over $K$.

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