Classification rationnelle et confluence des systèmes aux différences singuliers réguliers

Roques, Julien

Annales de l'Institut Fourier, Tome 56 (2006) no. 6, pp. 1663-1699.

En choisissant des “caractères” et des “logarithmes”, méromorphes sur $ℂ$, construits à l’aide de la fonction Gamma d’Euler, et en utilisant des séries de factorielles convergentes, nous sommes en mesure, dans une première partie, de donner une “forme normale” pour les solutions d’un système aux différences singulier régulier. Nous pouvons alors définir une matrice de connexion d’un tel système. Nous étudions ensuite, suivant une idée de G.D. Birkhoff, le lien de celles-ci avec le problème de la classification rationnelle des systèmes. Dans une deuxième partie, nous nous intéressons à la confluence des systèmes aux différences fuchsiens vers les systèmes différentiels. Nous montrons en particulier comment, sous certaines hypothèses naturelles, on peut reconstituer les monodromies locales d’un système différentiel limite à partir des matrices méromorphes de connexion des déformations considérées. Le point central, qui distingue en profondeur les systèmes aux différences singuliers réguliers de leurs homonymes différentiels ou aux $q$-différences et qui rend leur étude plus complexe, est la nécessaire utilisation de séries de factorielles (qui peuvent diverger en tant que séries de puissances).

By using meromorphic “characters” and “logarithms” built up from Euler’s Gamma function, and by using convergent factorial series, we will give, in a first part, a “normal form” to the solutions of a regular singular difference system. It will enable us to define a connection matrix for a regular singular system. Following one of Birkhoff’s idea, we will then study its link with the problem of rational classification of systems. In a second part, we will be interested in the confluence of fuchsian difference systems to differential systems. We will show more particularly how we can get, under some natural hypotheses, the local monodromies of a limit differential system from the connection matrices of the deformation that we consider. The use of factorial series (which can diverge as power series) distinguish regular singular difference systems from their differential and $q$-difference analogues and make their study more difficult.

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