Le théorème de Riesz-Raikov-Bourgain pour un endomorphisme algébrique de p
Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 1, pp. 45-126.

Le théorème classique de Riesz-Raikov assure que, pour tout entier θ>1 et toute f de L 1 (𝕋), où 𝕋=/, les moyennes

1 N 1 N f ( θ n x ) convergent vers 𝕋 f ( t ) d t

pour presque tout point x de . J.Bourgain (cf.Israël Math. Conf. Proc. 1990) a prouvé que la convergence précédente a lieu pour tout réel algébrique θ>1 et toute f de L 2 (𝕋). Dans cet article nous prouvons que, si ϕ est un endomorphisme de  p algébrique sur , dont les valeurs propres sont toutes de module >1, alors pour toute f de L 2 (𝕋 p ), les moyennes (1/N) 1 N f(ϕ n x) convergent vers 𝕋 p f(t)dt pour presque tout point x de p . Nous suivons et adaptons les arguments développés par J.Bourgain dans l’article précité.

The classical Riesz-Raikov theorem states that, for any integer θ>1 and any f of L 1 (𝕋), where 𝕋=/, the averages

1 N 1 N f ( θ n x ) converge to 𝕋 f ( t ) d t

for almost every point x of . J.Bourgain (cf.Israël Math. Conf. Proc. 1990) has proved that the preceding convergence takes place for any algebraic number θ>1 and any f of L 2 (𝕋). In this paper we prove that, for any endomorphism ϕ of  p algebraic on , whose proper values all have modulus >1, for any f of L 2 (𝕋 p ), the averages 1/N 1 N f(ϕ n x) converge to 𝕋 p f(t)dt for almost every point x of p . We follow and adapt J.Bourgain’s arguments as developed in the above mentioned paper.

DOI : 10.5802/aif.2252
Classification : 47A35, 11D61, 42B05
Mot clés : Théorème de Riesz-Raikov, théorème ergodique maximal de Hopf, zéro-multiplicité des suites récurrentes linéaires, presque-orthogonalité, séries de Fourier et inégalités maximales
Keywords: Riesz-Raikov Theorem, Hopf maximal ergodic theorem, zero multiplicity of linear recurrence sequences, almost orthogonality, Fourier series and maximal inequalities
Lootgieter, Jean-Claude 1

1 Université Pierre et Marie Curie Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires 4, Place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05 (France)
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Lootgieter, Jean-Claude. Le théorème de Riesz-Raikov-Bourgain pour un endomorphisme algébrique de ${\mathbb{R}}^p$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 1, pp. 45-126. doi : 10.5802/aif.2252. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.2252/

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