Solutions non oscillantes d’une équation différentielle et corps de Hardy

Soit $\varphi :x\mapsto \varphi \left(x\right),x\gg 0$ une solution à l’infini d’une équation différentielle algébrique d’ordre $n$, $P(x,y,y^{\prime },...,y^{\left(n\right)})=0$. Nous donnons un critère géométrique pour que les germes à l’infini de $\varphi$ et de la fonction identité sur $ℝ$ appartiennent à un même corps de Hardy. Ce critère repose sur le concept de non oscillation.

Let $\varphi :x\mapsto \varphi \left(x\right),x\gg 0$ be a solution of an algebraic differential equation of order $n$, $P(x,y,y^{\prime },...,y^{\left(n\right)})=0$. We establish a geometric criterion so that the germs at infinity of $\varphi$ and the identity function on $ℝ$ belong to a common Hardy field. This criterion is based on the concept of non oscillation.