Construire un noyau de la fonctorialité ? Le cas de l’induction automorphe sans ramification de GL${}_1$ à GL${}_2$

Lafforgue, Laurent

Annales de l'Institut Fourier, Tome 60 (2010) no. 1, pp. 87-147.

Le but de cet article est de présenter une nouvelle méthode purement adélique pour réaliser le principe de fonctorialité de Langlands dans le cas de l’induction automorphe sans ramification de GL${}_1$ à GL${}_2$ sur les corps de fonctions. On construit sur le produit des groupes adéliques GL${}_1$ et GL${}_2$ un noyau de la fonctorialité. C’est une version “en famille” et locale de la construction par les modèles de Whittaker globaux, utilisée classiquement dans les “théorèmes réciproques” de Weil et Piatetski-Shapiro. La plus grande partie de la construction et des vérifications nécessaires est locale, c’est-à-dire se fait place par place. Il s’agit de prouver que deux fonctions, dont chacune est définie localement, deviennent égales après sommation sur les éléments rationnels de certains groupes. Cela résulte de la formule de Poisson, sur le modèle de la thèse de Tate, dès lors que l’on comprend comment nos deux fonctions se déduisent localement l’une de l’autre par une certaine transformation de Fourier.

The purpose of this work is to present a new adelic method for realising Langlands’ functoriality principle in the case of unramified automorphic induction from GL${}_1$ to GL${}_2$ on function fields. A kernel of functoriality is built on the product of the adelic groups GL${}_1$ and GL${}_2$. It is some kind of “family” local version of the construction for global Whittaker models, which is classically used in the “converse theorems” of Weil and Piatetski-Shapiro. Essential use is made of the Fourier transform on adele groups and of the Poisson formula, just as in Tate’s thesis.

[1] Borel, A.; Casselman, W. Automorphic forms, representations and L-functions, 33.I et 33.II, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, AMS, 1978

[2] Cogdell, J. W.; Piatetski-Shapiro, I. I. Converse theorems for GL${}_n$, Publications mathématiques de l’IHES (1994) no. 79, pp. 157-214 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[3] Jacquet, H.; Langlands, R. P. Automorphic forms on GL(2), Lecture Notes in Mathematics, Vol. 114, Springer-Verlag, Berlin, 1970 | MR | Zbl

[4] Lafforgue, L. Quelques remarques sur le principe de fonctorialité, 2007 (Prépublication de l’IHES, no M/07/31, à paraître dans un volume de la collection « Astérisque » de la SMF)

[5] Lafforgue, L. Construire des noyaux de la fonctorialité ? Définition générale, cas de l’identité de GL${}_2$ et construction générale conjecturale de leurs coefficients de Fourier, 2009 texte disponible sur le site de l’auteur (www.ihes.fr/~lafforgue/publications.html) à partir de septembre 2009

[6] Langlands, R. P. Beyond endoscopy, Contributions to automorphic forms, geometry, and number theory, Johns Hopkins Univ. Press, Baltimore, MD, 2004, pp. 611-697 | MR | Zbl

[7] Shalika, J. A. The multiplicity one theorem for GL${}_n$, Ann. of Math. (2), Volume 100 (1974), pp. 171-193 | DOI | MR | Zbl

[8] Shintani, T. On an explicit formula for class-$1$ “Whittaker functions” on $G{L}_n$ over $P$-adic fields, Proceedings of the Japan Academy, Volume 52 (1976) no. 4, pp. 180-182 | DOI | MR | Zbl

[9] Tate, J. T Fourier analysis in number fields, and Hecke’s zeta-functions, Princeton (1950) Ph. D. Thesis thèse de doctorat reproduite dans  : J.W.S. Cassels et A. Fröhlich (éditeurs), “Algebraic number theory”, Academic Press (1967), p. 305-347