Accelero-summation of the formal solutions of nonlinear difference equations

En 1996, Braaksma et Faber ont établi la multi-sommabilité, sur des multi-intervalles convenables, des solutions formelles d’équations aux différences nonlinéaires, localement analytiques, sous la condition que le niveau $1^{+}$ ne se présente pas. En combinant leurs résultats avec d’autres récents pour le cas des deux niveaux $1$ et $1^{+}$, on démontre, pour une classe très générale d’équations, l’accéléro-sommabilité de la solution formelle. L’accéléro-somme est solution analytique de l’équation, admettant la solution formelle comme développement asymptotique à l’infini.

In 1996, Braaksma and Faber established the multi-summability, on suitable multi-intervals, of formal power series solutions of locally analytic, nonlinear difference equations, in the absence of “level $1^{+}$”. Combining their approach, which is based on the study of corresponding convolution equations, with recent results on the existence of flat (quasi-function) solutions in a particular type of domains, we prove that, under very general conditions, the formal solution is accelero-summable. Its sum is an analytic solution of the equation, represented asymptotically by the formal solution in a certain unbounded domain.