Equations of some wonderful compactifications
Annales de l'Institut Fourier, Volume 61 (2011) no. 5, p. 2121-2138

De Concini and Procesi have defined the wonderful compactification $\overline{X}$ of a symmetric space $X=G/{G}^{\sigma }$ where $G$ is a complex semisimple adjoint group and ${G}^{\sigma }$ the subgroup of fixed points of $G$ by an involution $\sigma$. It is a closed subvariety of a Grassmannian of the Lie algebra $𝔤$ of $G$. In this paper we prove that, when the rank of $X$ is equal to the rank of $G$, the variety is defined by linear equations. The set of equations expresses the fact that the invariant alternate trilinear form $w$ on $𝔤$ vanishes on the $\left(-1\right)$-eigenspace of $\sigma$.

De Concini et Procesi ont défini la compactification magnifique minimale d’un espace symétrique $X=G/H$$G$ est un groupe complexe semi-simple adjoint et $H$ le sous-groupe des points fixes par une involution $\sigma$. C’est une sous-variété fermée d’une Grassmannienne des sous-espaces vectoriels de l’algèbre de Lie de $G$. Dans cet article, nous démontrons que, lorsque le rang de $X$ est égal au rang de $G$, la variété est définie par des équations linéaires. Ces équations traduisent l’annulation de l’espace propre de $\sigma$ de valeur propre $-1$ par la forme trilinéaire alternée invariante sur l’algèbre de Lie de $G$. L’article finit par des exemples lorsque le rang de $G$ est deux.

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2668
Classification:  14L30,  20G05
Keywords: Wonderful compactification, symmetric space, Lie algebra, adjoint group, scheme
@article{AIF_2011__61_5_2121_0,
author = {Hivert, Pascal},
title = {Equations of some wonderful compactifications},
journal = {Annales de l'Institut Fourier},
publisher = {Association des Annales de l'institut Fourier},
volume = {61},
number = {5},
year = {2011},
pages = {2121-2138},
doi = {10.5802/aif.2668},
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Hivert, Pascal. Equations of some wonderful compactifications. Annales de l'Institut Fourier, Volume 61 (2011) no. 5, pp. 2121-2138. doi : 10.5802/aif.2668. http://www.numdam.org/item/AIF_2011__61_5_2121_0/

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