Floris, Enrica
Bounds on the denominators in the canonical bundle formula  [ Bornes sur les dénominateurs dans la formule du fibré canonique ]
Annales de l'institut Fourier, Tome 63 (2013) no. 5 , p. 1951-1969
MR 3186513 | Zbl 1295.14034
doi : 10.5802/aif.2819
URL stable : http://www.numdam.org/item?id=AIF_2013__63_5_1951_0

Classification:  14J10 14J26
Mots clés: fibration lc-triviale, partie modulaire, dénominateurs
Dans cet article on considère la partie modulaire dans la formule du fibré canonique pour une fibration lc-triviale dont la fibre générique est une courbe rationnelle. Soit r l’indice de Cartier de la fibre. Il avait été conjecturé que 12r est une borne sur les dénominateurs de la partie modulaire. Nous démontrons qu’une telle borne ne peut même pas être polynômiale en r, nous calculons une borne N(r) et nous fournissons un exemple où la borne optimale sur les dénominateurs est N(r)/r. De plus nous montrons que même localement les dénominateurs dépendent quadratiquement de r.
In this work we study the moduli part in the canonical bundle formula of an lc-trivial fibration whose general fibre is a rational curve. If r is the Cartier index of the fibre, it was expected that 12r would provide a bound on the denominators of the moduli part. Here we prove that such a bound cannot even be polynomial in r, we provide a bound N(r) and an example where the smallest integer that clears the denominators of the moduli part is N(r)/r. Moreover we prove that even locally the denominators depend quadratically on r.

Bibliographie

[1] Ambro, F. The Adjunction Conjecture and its applications, The Johns Hopkins University (1999) (Ph. D. Thesis) MR 2698988

[2] Ambro, F. Shokurov’s boundary property, J. Differential Geom., 67 (2004), p. 229-255 MR 2153078 | Zbl 1097.14029

[3] Barth, W.; Peters, C.; De Ven, A. Van Compact Complex Surfaces, Springer Verlag (1984) MR 749574 | Zbl 1036.14016

[4] Corti, A. Flips for 3-folds and 4-folds, Oxford University Press, Oxford Lecture Series in Mathematics and Its Applications, 35 (2007) MR 2352762

[5] Fujino, O.; Mori, S. A canonical bundle formula, J. Differential Geom., 56 (2000), p. 167-188 MR 1863025 | Zbl 1032.14014

[6] Jiang, X. On the pluricanonical maps of varieties of intermediate Kodaira dimension, arXiv:1012.3817 (2012), p. 1-21 MR 3063904

[7] Kawamata, Y. Subadjunction of log canonical divisors for a variety of codimension 2, Contemporary Mathematics, 207 (1997), p. 79-88 Article  MR 1462926 | Zbl 0901.14004

[8] Kawamata, Y. Subadjunction of log canonical divisors, II, Amer. J. Math., 120 (1998), p. 893-899 Article  MR 1646046 | Zbl 0919.14003

[9] Kollár, J.; Mori, S. Birational Geometry of Algebraic Varieties, Cambridge University Press, Cambridge, Cambridge Tracts in Math, 134 (1998) MR 1658959 | Zbl 0926.14003

[10] Prokhorov, Yu. G.; Shokurov, V. V. Towards the second theorem on complements, J. Algebraic Geom., 18 (2009), p. 151-199 Article  MR 2448282 | Zbl 1159.14020

[11] Todorov, G. T. Effective log Iitaka fibrations for surfaces and threefolds, Manuscripta Math., 133 (2010), p. 183-195 Article  MR 2672545 | Zbl 1200.14032