On varieties of Hilbert type

Bary-Soroker, Lior; Fehm, Arno; Petersen, Sebastian

doi:10.5802/aif.2899

Bary-Soroker, Lior; Fehm, Arno; Petersen, Sebastian

Annales de l'Institut Fourier, Volume 64 (2014) no. 5, p. 1893-1901

Abstract
Résumé

A variety $X$ over a field $K$ is of Hilbert type if $X (K)$ is not thin. We prove that if $f : X \to S$ is a dominant morphism of $K$ -varieties and both $S$ and all fibers $f^{- 1} (s)$ , $s \in S (K)$ , are of Hilbert type, then so is $X$ . We apply this to answer a question of Serre on products of varieties and to generalize a result of Colliot-Thélène and Sansuc on algebraic groups.

Une variété $X$ sur un corps $K$ a la propriété de Hilbert si $X (K)$ n’est pas mince. Nous montrons que si $f : X \to S$ est un morphisme de $K$ -variétés dominant et si $S$ ainsi que toutes les fibres $f^{- 1} (s)$ pour $s \in S (K)$ ont la propriété de Hilbert, alors $X$ aussi. Ceci nous permet de répondre à une question de Serre concernant les produits de variétés, et de généraliser un résultat de Colliot-Thélène et Sansuc sur les groupes algébriques.

MR 3330926 | Zbl 06387326

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2899
Classification: 12E25, 12E30, 20G30
Keywords: Thin set, variety of Hilbert type, Hilbertian field, algebraic group

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     author = {Bary-Soroker, Lior and Fehm, Arno and Petersen, Sebastian},
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Bary-Soroker, Lior; Fehm, Arno; Petersen, Sebastian. On varieties of Hilbert type. Annales de l'Institut Fourier, Volume 64 (2014) no. 5, pp. 1893-1901. doi : 10.5802/aif.2899. http://www.numdam.org/item/AIF_2014__64_5_1893_0/

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