On varieties of Hilbert type

Bary-Soroker, Lior; Fehm, Arno; Petersen, Sebastian

Bary-Soroker, Lior; Fehm, Arno; Petersen, Sebastian

Annales de l'Institut Fourier, Volume 64 (2014) no. 5, p. 1893-1901

Abstract
Résumé

A variety $X$ over a field $K$ is of Hilbert type if $X (K)$ is not thin. We prove that if $f : X \to S$ is a dominant morphism of $K$ -varieties and both $S$ and all fibers $f^{- 1} (s)$ , $s \in S (K)$ , are of Hilbert type, then so is $X$ . We apply this to answer a question of Serre on products of varieties and to generalize a result of Colliot-Thélène and Sansuc on algebraic groups.

Une variété $X$ sur un corps $K$ a la propriété de Hilbert si $X (K)$ n’est pas mince. Nous montrons que si $f : X \to S$ est un morphisme de $K$ -variétés dominant et si $S$ ainsi que toutes les fibres $f^{- 1} (s)$ pour $s \in S (K)$ ont la propriété de Hilbert, alors $X$ aussi. Ceci nous permet de répondre à une question de Serre concernant les produits de variétés, et de généraliser un résultat de Colliot-Thélène et Sansuc sur les groupes algébriques.

MR 3330926 | Zbl 06387326

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2899
Classification: 12E25, 12E30, 20G30
Keywords: Thin set, variety of Hilbert type, Hilbertian field, algebraic group

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     author = {Bary-Soroker, Lior and Fehm, Arno and Petersen, Sebastian},
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Bary-Soroker, Lior; Fehm, Arno; Petersen, Sebastian. On varieties of Hilbert type. Annales de l'Institut Fourier, Volume 64 (2014) no. 5, pp. 1893-1901. doi : 10.5802/aif.2899. http://www.numdam.org/item/AIF_2014__64_5_1893_0/

References

[1] Borel, Armand Linear algebraic groups, Springer-Verlag, New York, Graduate Texts in Mathematics, Tome 126 (1991), pp. xii+288 | MR 1102012 | Zbl 0726.20030

[2] Colliot-Thélène, Jean-Louis; Sansuc, Jean-Jacques Principal homogeneous spaces under flasque tori: applications, J. Algebra, Tome 106 (1987) no. 1, pp. 148-205 | Article | MR 878473 | Zbl 0597.14014

[3] Conrad, Brian A modern proof of Chevalley’s theorem on algebraic groups, J. Ramanujan Math. Soc., Tome 17 (2002) no. 1, pp. 1-18 | MR 1906417 | Zbl 1007.14005

[4] Corvaja, Pietro Rational fixed points for linear group actions, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5), Tome 6 (2007) no. 4, pp. 561-597 | Numdam | MR 2394411 | Zbl 1207.11067

[5] Fried, Michael D.; Jarden, Moshe Field arithmetic, Springer-Verlag, Berlin, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics], Tome 11 (2008), pp. xxiv+792 (Revised by Jarden) | MR 2445111 | Zbl 0625.12001

[6] Grothendieck, A. Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1961) no. 8, pp. 5-222

[7] Grothendieck, A. Éléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1961) no. 11, pp. 5-167 | Numdam | Zbl 0122.16102

[8] Grothendieck, A. Revêtements étales et groupe fondamental. Fasc. I: Exposés 1 à 5, Institut des Hautes Études Scientifiques, Paris, Séminaire de Géométrie Algébrique, Tome 1960/61 (1963), pp. iv+143

[9] Grothendieck, A. Revêtements étales et groupe fondamental. Fasc. II: Exposés 6, 8 à 11, Institut des Hautes Études Scientifiques, Paris, Séminaire de Géométrie Algébrique, Tome 1960/61 (1963), pp. i+163

[10] Grothendieck, A. Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1964) no. 20, pp. 5-259 | Article | Numdam | Zbl 0136.15901

[11] Grothendieck, A. Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Deuxième partie, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1965) no. 24, pp. 5-231 | Numdam | Zbl 0135.39701

[12] Grothendieck, A. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné): IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1966) no. 28, pp. 5-255 | Article | Numdam | Zbl 0144.19904

[13] Kollár, János Rationally connected varieties and fundamental groups, Higher dimensional varieties and rational points (Budapest, 2001), Springer, Berlin (Bolyai Soc. Math. Stud.) Tome 12 (2003), pp. 69-92 | MR 2011744 | Zbl 1075.14017

[14] Milne, J. Basic Theory of Affine Group Schemes (2012) (Available at www.jmilne.org)

[15] Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay Cohomology of number fields, Springer-Verlag, Berlin, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], Tome 323 (2008), pp. xvi+825 | MR 2392026 | Zbl 1136.11001

[16] Rosenlicht, Maxwell Questions of rationality for solvable algebraic groups over nonperfect fields, Ann. Mat. Pura Appl. (4), Tome 61 (1963), pp. 97-120 | Article | MR 158891 | Zbl 0126.16901

[17] Sansuc, J.-J. Groupe de Brauer et arithmétique des groupes algébriques linéaires sur un corps de nombres, J. Reine Angew. Math., Tome 327 (1981), pp. 12-80 | MR 631309 | Zbl 0468.14007

[18] Serre, Jean-Pierre Galois cohomology, Springer-Verlag, Berlin (1997), pp. x+210 (Translated from the French by Patrick Ion and revised by the author) | MR 1466966 | Zbl 0812.12002

[19] Serre, Jean-Pierre Topics in Galois theory, A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, Research Notes in Mathematics, Tome 1 (2008), pp. xvi+120 (notes written by Henri Darmon) | MR 2363329 | Zbl 1128.12001