On varieties of Hilbert type

Une variété $X$ sur un corps $K$ a la propriété de Hilbert si $X\left(K\right)$ n’est pas mince. Nous montrons que si $f:X\to S$ est un morphisme de $K$-variétés dominant et si $S$ ainsi que toutes les fibres $f^{-1}\left(s\right)$ pour $s\in S\left(K\right)$ ont la propriété de Hilbert, alors $X$ aussi. Ceci nous permet de répondre à une question de Serre concernant les produits de variétés, et de généraliser un résultat de Colliot-Thélène et Sansuc sur les groupes algébriques.

A variety $X$ over a field $K$ is of Hilbert type if $X\left(K\right)$ is not thin. We prove that if $f:X\to S$ is a dominant morphism of $K$-varieties and both $S$ and all fibers $f^{-1}\left(s\right)$, $s\in S\left(K\right)$, are of Hilbert type, then so is $X$. We apply this to answer a question of Serre on products of varieties and to generalize a result of Colliot-Thélène and Sansuc on algebraic groups.