Existence of common zeros for commuting vector fields on three manifolds
Annales de l'Institut Fourier, Volume 67 (2017) no. 4, p. 1741-1781

In 1964, E. Lima proved that commuting vector fields on surfaces with non-zero Euler characteristic have common zeros. Such statement is empty in dimension 3, since all the Euler characteristics vanish. Nevertheless, C. Bonatti proposed in 1992 a local version, replacing the Euler characteristic by the Poincaré–Hopf index of a vector field X in a region U, denoted by Ind(X,U); he asked:

Given commuting vector fields X,Y and a region U where

Ind(X,U)0

does U contain a common zero of X and Y?

A positive answer was given in the case where X and Y are real analytic, in the same article where the above question was posed.

In this paper, we prove the existence of common zeros for commuting C 1 vector fields X, Y on a 3-manifold, in any region U such that Ind(X,U)0, assuming that the set of collinearity of X and Y is contained in a smooth surface. This is a strong indication that the results for analytic vector fields should hold in the C 1 setting.

En 1964, E. Lima a montré que des champs de vecteurs qui commutent sur une surface ont un zéro commun. Cette énoncé est trivial en dimension 3 puisque les caractéristiques d’Euler sont nulles dans ce cas. Cependant, C. Bonatti a proposé 1992 une version locale, en remplaçant la caractéristique d’Euler par l’indice de Poincaré–Hopf d’un champ de vecteurs X dans une région U, qu’on denote par Ind(X,U). Il a proposé la question suivante :

Étant donnés deux champs de vecteurs X et Y qui commutent et une région compacte U sur lequel

Ind(X,U)0,

est-ce que U contient un zéro commun de X et Y ?

Une réponse positive a été donnée dans le cas où X et Y sont réels analytiques, dans le même papier où la question au-dessus a été posée.

Dans cet article on montre existence de zéros communs pour les champs de vecteurs de classe C 1 qui commutent en dimension 3, pour toute région U telle que l’indice Ind(X,U) est non nul et en supposent en plus que le lieu de colinéarité entre X et Y est contenu dans une surface lisse. C’est une forte indication que le résultat pour les champs de vecteurs analytiques doit être vrai en régularité C 1 .

Received : 2015-06-15
Revised : 2016-06-08
Accepted : 2016-10-27
Published online : 2017-09-26
DOI : https://doi.org/10.5802/aif.3121
Classification:  37C25,  37C85,  57S05,  58C30
Keywords: commuting vector fields, fixed points, Poincaré–Hopf index
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     author = {Bonatti, Christian and Santiago, Bruno},
     title = {Existence of common zeros for commuting vector fields on three manifolds},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Association des Annales de l'institut Fourier},
     volume = {67},
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     year = {2017},
     pages = {1741-1781},
     doi = {10.5802/aif.3121},
     language = {en},
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Bonatti, Christian; Santiago, Bruno. Existence of common zeros for commuting vector fields on three manifolds. Annales de l'Institut Fourier, Volume 67 (2017) no. 4, pp. 1741-1781. doi : 10.5802/aif.3121. http://www.numdam.org/item/AIF_2017__67_4_1741_0/

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