On the expansions of real numbers in two integer bases

Soient $r$ et $s$ deux entiers strictement positifs multiplicativement indépendants. Nous démontrons que les développements en base $r$ et en base $s$ d’un nombre irrationnel, vus comme des mots infinis sur les alphabets $\{0,1,...,r-1\}$ et $\{0,1,...,s-1\}$, respectivement, ne peuvent pas avoir simultanément une trop faible complexité par blocs. En particulier, au plus l’un d’eux est un mot sturmien.

Let $r$ and $s$ be multiplicatively independent positive integers. We establish that the $r$-ary expansion and the $s$-ary expansion of an irrational real number, viewed as infinite words on $\{0,1,...,r-1\}$ and $\{0,1,...,s-1\}$, respectively, cannot have simultaneously a low block complexity. In particular, they cannot be both Sturmian words.