Formes modulaires surconvergentes, ramification et classicité

Bijakowski, Stéphane

Annales de l'Institut Fourier, Tome 67 (2017) no. 6, pp. 2463-2518.

Nous prouvons un résultat de classicité pour les formes modulaires surconvergentes sur les variétés de Shimura PEL de type (A) ou (C), sans hypothèse de ramification. Nous utilisons une méthode de prolongement analytique, qui généralise des résultats antérieurs dans le cas non ramifié. Nous travaillons avec le modèle rationnel de la variété de Shimura, et utilisons un plongement dans la variété de Siegel pour définir les structures entières sur l’espace rigide.

We prove in this paper a classicality result for overconvergent modular forms on PEL Shimura varieties of type (A) or (C), without any ramification hypothesis. We use an analytic continuation method, which generalizes previous results in the unramified setting. We work with the rational model of the Shimura variety, and use an embedding into the Siegel variety to define the integral structures on the rigid space.

Classification : 11F46, 11S15, 14G35
Mot clés : Formes modulaires surconvergentes, variétés de Shimura, ramification, classicité
Keywords: Overconvergent modular forms, Shimura varieties, ramification, classicity

[1] Berthelot, Pierre Cohomologie rigide et cohomologie à support propre, Première partie (1996) (prépublication, disponible sur https://perso.univ-rennes1.fr/pierre.berthelot/)

[2] Bijakowski, Stéphane Classicité de formes modulaires de Hilbert, Arithmétique $p$-adique des formes de Hilbert (Astérisque), Volume 382, Société Mathématique de France (SMF), 2016, pp. 49-71 | Zbl

[3] Bijakowski, Stéphane; Pilloni, Vincent; Stroh, Benoît Classicité de formes modulaires surconvergentes, Ann. Math., Volume 183 (2016) no. 3, pp. 975-1014 | DOI | Zbl

[4] Buzzard, Kevin Analytic continuation of overconvergent eigenforms, J. Am. Math. Soc., Volume 16 (2003) no. 1, pp. 29-55 | DOI | Zbl

[5] Coleman, Robert F. Classical and overconvergent modular forms, Invent. Math., Volume 124 (1996) no. 1-3, pp. 215-241 | DOI | Zbl

[6] Faltings, Gerd; Chai, Ching-Li Degeneration of abelian varieties, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3, 22, Springer, 1990, xii+316 pages | Zbl

[7] Fargues, Laurent La filtration de Harder-Narasimhan des schémas en groupes finis et plats., J. Reine Angew. Math., Volume 645 (2010), pp. 1-39 | DOI | Zbl

[8] Grothendieck, Alexander Éléments de géométrie algébrique : III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie, Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci., Volume 11 (1961), pp. 5-167 | DOI | Zbl

[9] Johansson, Christian Classicality for small slope overconvergent automorphic forms on some compact PEL Shimura varieties of type C., Math. Ann., Volume 357 (2013) no. 1, pp. 51-88 | DOI | Zbl

[10] Kassaei, Payman L. A gluing lemma and overconvergent modular forms., Duke Math. J., Volume 132 (2006) no. 3, pp. 509-529 | DOI | Zbl

[11] Kisin, Mark Moduli of finite flat group schemes, and modularity, Ann. Math., Volume 170 (2009) no. 3, pp. 1085-1180 | DOI | Zbl

[12] Kottwitz, Robert E. Points on some Shimura varieties over finite fields, J. Am. Math. Soc., Volume 5 (1992) no. 2, pp. 373-444 | DOI | Zbl

[13] Lan, Kai-Wen Higher Koecher’s principle, Math. Res. Lett., Volume 23 (2016) no. 1, pp. 163-199 | DOI | Zbl

[14] Lütkebohmert, Werner Der Satz von Remmert-Stein in der nichtarchimedischen Funktionentheorie, Math. Z., Volume 139 (1974), pp. 69-84 | DOI | Zbl

[15] Pilloni, Vincent; Stroh, Benoît Surconvergence et classicité : le cas déployé (2011) (prépublication)

[16] Pilloni, Vincent; Stroh, Benoît Surconvergence et classicité : le cas Hilbert (2011) (prépublication)

[17] Pink, Richard Arithmetical compactification of mixed Shimura varieties, Universität Bonn (Germany) (1989) (Ph. D. Thesis)

[18] Rapoport, Michael Compactifications de l’espace de modules de Hilbert-Blumenthal, Compos. Math., Volume 36 (1978), pp. 255-335 | Zbl

[19] Raynaud, Michel Schémas en groupes de type $(p,\cdots ,p)$, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 102 (1974), pp. 241-280 | DOI | Zbl

[20] Sasaki, Shu Analytic continuation of overconvergent Hilbert eigenforms in the totally split case, Compos. Math., Volume 146 (2010) no. 3, pp. 541-560 | DOI | Zbl

[21] Sasaki, Shu Integral models of Hilbert modular varieties in the ramified case, deformations of modular Galois representations, and weight one forms (2014) (prépublication)

[22] Stroh, Benoît Compactification de variétés de Siegel aux places de mauvaise réduction, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 138 (2010) no. 2, pp. 259-315 | DOI | Zbl

[23] Tian, Yichao; Xiao, Liang $p$-adic cohomology and classicality of overconvergent Hilbert modular forms, Arithmétique $p$-adique des formes de Hilbert. (Astérisque), Volume 382, Société Mathématique de France (SMF), 2016, pp. 73-162 | Zbl

[24] Wedhorn, Torsten Ordinariness in good reductions of Shimura varieties of PEL-type, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 32 (1999) no. 5, pp. 575-618 | DOI | MR | Zbl