Group orderings, dynamics, and rigidity

Soit $G$ un groupe dénombrable. Nous montrons qu’il y a une relation topologique entre l’espace $\mathrm{CO}\left(G\right)$ des ordres cycliques sur $G$ et l’espace des actions de $G$ sur le cercle par homéomorphismes ; et, de manière analogue, qu’il y a une relation entre l’espace des ordres linéaires et l’espace des actions sur la droite. En particulier, nous donnons une caractérisation complète des ordres isolés par rapport à la rigidité forte de leurs actions associées.

Nous appliquons nos techniques pour construire, de manière explicite, un ensemble infini d’ordres non-conjugués et isolés dans l’espace $\mathrm{CO}\left(F_{2n}\right)$ des ordres cycliques sur les groupes libres. Ceci donne un contre-exemple à une conjecture de Baik–Samperton. Nous donnons aussi un ensemble infini d’ordres linéaires non-conjugués et isolés sur le groupe de tresses pures $P_3$, pour répondre à une question de Navas. Finalement, nous faisons une analyse détaillée des ordres cycliques sur les groupes libres qui caractérise les ordres isolés.

Let $G$ be a countable group. We show there is a topological relationship between the space $\mathrm{CO}\left(G\right)$ of circular orders on $G$ and the moduli space of actions of $G$ on the circle; and an analogous relationship for spaces of left orders and actions on the line. In particular, we give a complete characterization of isolated left and circular orders in terms of strong rigidity of their induced actions of $G$ on $S^1$ and $ℝ$.

As an application of our techniques, we give an explicit construction of infinitely many nonconjugate isolated points in the spaces $\mathrm{CO}\left(F_{2n}\right)$ of circular orders on free groups, disproving a conjecture from Baik–Samperton, and infinitely many nonconjugate isolated points in the space of left orders on the pure braid group $P_3$, answering a question of Navas. We also give a detailed analysis of circular orders on free groups, characterizing isolated orders.