On bifurcation and local rigidity of triply periodic minimal surfaces in ${ℝ}^3$

Nous étudions l’espace des surfaces minimales triplement périodiques dans ${ℝ}^3$, obtenant un résultat sur la rigidité locale ainsi que sur l’existence de bifurcation. Nous démontrons que, près d’une surface minimale triplement périodique de nullité $3$, l’espace des surfaces minimales triplement périodiques est une famille lisse à cinq paramètres de surfaces deux à deux non homothétiques. D’autre part, s’il y a une famille lisse à un paramètre de surfaces minimales triplement périodiques ${\left\{X_t\right\}}_t$ contenant $X_0$, dont l’indice de Morse saute d’un entier impair, ceci démontrera l’existence d’une branche bifurquant depuis $X_0$. Nous appliquons aussi ces résultats à plusieurs exemples connus.

We study the space of triply periodic minimal surfaces in ${ℝ}^3$, giving a result on the local rigidity and a result on the existence of bifurcation. We prove that, near a triply periodic minimal surface with nullity three, the space of triply periodic minimal surfaces consists of a smooth five-parameter family of pairwise non-homothetic surfaces. On the other hand, if there is a smooth one-parameter family of triply periodic minimal surfaces ${\left\{X_t\right\}}_t$ containing $X_0$ where the Morse index jumps by an odd integer, it will be proved the existence of a bifurcating branch issuing from $X_0$. We also apply these results to several known examples.