Sign-changing solutions of competition–diffusion elliptic systems and optimal partition problems

Dans cet article nous montrons lʼexistence dʼune infinité de solutions qui changent de signe pour le système dʼéquations de Schrödinger avec des interactions compétitives

$$-\Delta u_i+a_i{u}_i^3+\beta u_i\sum _{j\ne i}{u}_j^2={\lambda }_{i,\beta }{u}_i,u_i\in H_0^1\left(\Omega \right),i=1,\cdots ,m$$

où Ω est un domaine borné, $\beta >0$ et $a_i⩾0$ ∀i. De plus, quand $a_i=0$, nous démontrons une relation entre les énergies critiques associées à ce système et le problème de partition optimale

$$\underset{\genfrac{}{}{0.0pt}{}{{\omega }_i\subset \Omega \text{open}}{{\omega }_i\cap {\omega }_j=⌀\forall i\ne j}}{\inf }\sum _{i=1}^m{\lambda }_{k_i}\left({\omega }_i\right),$$

où ${\lambda }_{k_i}\left(\omega \right)$ indiques la $k_i$-ème valeur propre de lʼopérateur −Δ in $H_0^1\left(\omega \right)$. Dans le cas $k_i⩽2$, nous montrons que le problème de partition optimale apparaît comme une valeur limite critique, en tant que paramètre de compétition β diverge vers +∞.

In this paper we prove the existence of infinitely many sign-changing solutions for the system of m Schrödinger equations with competition interactions

$$-\Delta u_i+a_i{u}_i^3+\beta u_i\sum _{j\ne i}{u}_j^2={\lambda }_{i,\beta }{u}_i,u_i\in H_0^1\left(\Omega \right),i=1,\cdots ,m$$

where Ω is a bounded domain, $\beta >0$ and $a_i⩾0$ ∀i. Moreover, for $a_i=0$, we show a relation between critical energies associated with this system and the optimal partition problem

$$\underset{\genfrac{}{}{0.0pt}{}{{\omega }_i\subset \Omega \text{open}}{{\omega }_i\cap {\omega }_j=⌀\forall i\ne j}}{\inf }\sum _{i=1}^m{\lambda }_{k_i}\left({\omega }_i\right),$$

where ${\lambda }_{k_i}\left(\omega \right)$ denotes the $k_i$-th eigenvalue of −Δ in $H_0^1\left(\omega \right)$. In the case $k_i⩽2$ we show that the optimal partition problem appears as a limiting critical value, as the competition parameter β diverges to +∞.