La conjecture de Dickson et classes particulières d’entiers
Annales mathématiques Blaise Pascal, Volume 13 (2006) no. 1, p. 103-109

As a consequence of Dickson’s Conjecture, we prove, for each couple of integers q>0 and k>0, the existence of an infinite set L q,k such that, for each nL q,k and every integer s, 0<sq, we have n+s=st 1 ...t k where t 1 <...<t k are prime numbers. Similarly, we prove the existence of an infinite set M q,k such that , for each nM q,k and every integer s-q,q (including 0), we have n+s=lt 1 ...t k where t 1 <...<t k are prime numbers and l1,2q+1 is an integer. The nonstandard interpretation of this result suggests the following question: Is every unlimited integer equal to the sum of a limited integer and a product of two unlimited integers ? We present families of integers in which each unlimited member is a product of two unlimited integers.

En admettant la conjecture de Dickson, nous démontrons que, pour chaque couple d’entiers q>0 et k>0, il existe une partie infinie L q,k telle que, pour chacun des entiers nL q,k et tout entier s tel que 0<sq, on ait n+s=st 1 ...t k t 1 <...<t k sont des nombres premiers. De même, pour chaque couple d’entiers q>0 et k>0, il existe une partie infinie M q,k telle que, pour chacun des entiers nM q,k et tout entier s (nul ou non ) de l’intervalle -q,q, on ait n+s=lt 1 ...t k t 1 <...<t k sont des nombres premiers et l’entier l appartient à l’intervalle 1,2q+1. La lecture non standard de ce résultat nous suggère la question suivante : est-ce-que chaque entier illimité est, à un entier limité près, produit de deux entiers illimités ? Suite à ceci nous présentons des familles d’entiers, dans chacune desquelles tout nombre illimité est produit de deux entiers illimités.

DOI : https://doi.org/10.5802/ambp.215
Classification:  11N32,  26E35,  11A51,  11A41,  11B83
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Boudaoud, Abdelmadjid. La conjecture de Dickson et classes particulières d’entiers. Annales mathématiques Blaise Pascal, Volume 13 (2006) no. 1, pp. 103-109. doi : 10.5802/ambp.215. http://www.numdam.org/item/AMBP_2006__13_1_103_0/

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