Testing Cayley graph densities
[Tester les densités de graphes de Cayley.]
Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 15 (2008) no. 2, pp. 233-286.

Nous présentons une analyse assistée par ordinateur de propriétés combinatoires des graphes de Cayley de certains groupes de type fini : donnés un groupe et un ensemble fini de générateurs, nous étudions la densité du graphe de Cayley correspondant, c’est à dire, la borne supérieure de la valence de sommet (= nombre d’arêtes adjacentes) moyenne de tous ses sous-graphes finis. Il est connu qu’un groupe ayant m générateurs est moyennable si et seulement si la densité du graphe de Cayley correspondant est 2m. Nous testons des groupes moyennables et non-moyennables, ainsi que d’autres dont la moyennabilité est inconnue. Dans cette dernière classe nous nous intéressons au groupe F de Thompson.

We present a computer-assisted analysis of combinatorial properties of the Cayley graphs of certain finitely generated groups: given a group with a finite set of generators, we study the density of the corresponding Cayley graph, that is, the least upper bound for the average vertex degree (= number of adjacent edges) of any finite subgraph. It is known that an m-generated group is amenable if and only if the density of the corresponding Cayley graph equals to 2m. We test amenable and non-amenable groups, and also groups for which amenability is unknown. In the latter class we focus on Richard Thompson’s group F.

DOI : 10.5802/ambp.249
Classification : 20-04, 20F05
Keywords: Amenability, Thompson’s group $F$, computer-assisted analysis
Mot clés : Moyennabilité, groupe $F$ de Thompson, analyse assistée par ordinateur
Arzhantseva, Goulnara N. 1 ; Guba, Victor S. 2 ; Lustig, Martin 3 ; Préaux, Jean-Philippe 4

1 Section de Mathématiques Université de Genève CP 64, 1211 Genève 4 SWITZERLAND
2 Department of Mathematics Vologda State University 6 S. Orlov St., Vologda 160600 RUSSIA
3 LATP, UMR CNRS 6632 Mathématiques Université d’Aix-Marseille III Avenue Escadrille Normandie-Niemen 13397 Marseille cédex 20 FRANCE
4 Centre de recherche de l’Armée de l’air Ecole de l’air 13661 Salon-air FRANCE LATP, UMR CNRS 6632 Université de Provence 39 rue Joliot-Curie 13453 Marseille cédex 13 FRANCE
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[1] Belk, J. M.; Brown, K. S. Forest diagrams for elements of Thompson’s group F, Internat. J. Algebra Comput., Volume 15 (5-6) (2005), pp. 815-850 | DOI

[2] Cannon, J. W.; Floyd, W. J.; Parry, W. R. Introductory notes on Richard Thompson’s groups, L’Enseignement Mathématique, Volume 42 (2) (1996), pp. 215-256 | Zbl

[3] Ceccherini-Silberstein, T.; Grigorchuk, R.; de la Harpe, P. Amenability and paradoxal decompositions for pseudogroups and for discrete metric spaces, Proc. Steklov Inst. Math., Volume 224 (1) (1999), pp. 57-97 | MR | Zbl

[4] Guba, V. S. On the properties of the Cayley graph of Richard Thompson’s group F, Internat. J. Algebra Comput., Volume 14 (5-6) (2004), pp. 677-702 | DOI | MR | Zbl

[5] de la Harpe, P. Topics in geometric group theory, University of Chicago Press, Chicago, IL, 2000 | Zbl

[6] Lyndon, R.S.; Schupp, P.E. Combinatorial group theory, Springer-Verlag, Berlin, 2001 (Reprint of the 1977 edition) | MR | Zbl

Cité par Sources :