Incompressibilité des feuilles de germes de feuilletages holomorphes singuliers
Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 41 (2008) no. 6, pp. 855-903.

Nous considérons un germe de feuilletage holomorphe singulier non-dicritique défini sur une boule fermée 𝔹 ¯ 2 , satisfaisant des hypothèses génériques, de courbe de séparatrice S. Nous démontrons l’existence d’un voisinage ouvert U de S dans 𝔹 ¯ tel que, pour toute feuille L de |(US) , l’inclusion naturelle ı:LUS induit un monomorphisme ı * :π 1 (L)π 1 (US) au niveau du groupe fondamental. Pour cela, nous introduisons la notion géométrique de « connexité feuilletée » avec laquelle nous réinterprétons la notion d’incompressibilité. Nous montrons aussi l’existence de sections holomorphes transverses satisfaisant la propriété de connexité feuilletée  ; elles nous permettent d’introduire une notion de « représentation de monodromie globale » du feuilletage.

We consider a non-dicritic germ of singular holomorphic foliation defined in some closed ball 𝔹 ¯ 2 with separatrix set S, satisfying some additional but generic hypotheses. We prove that there exists an open subset US of 𝔹, such that for every leaf L of |(US) the natural inclusion ı:LUS induces a monomorphism ı * :π 1 (L)π 1 (US) at the fundamental group level. To do this, we introduce the geometrical notion of “foliated connexity” and we re-interpret the incompressibility using it. We also show the existence of some special transverse holomorphic sections, which allow us to introduce a “global monodromy representation” for the foliation.

DOI : 10.24033/asens.2083
Classification : 32M25, 32S55, 32S65, 34M20, 34M35, 34M45, 37F75, 57M05, 57M25, 57M27
Mot clés : Équations différentielles ordinaires, systèmes dynamiques, feuilletages holomorphes, champs de vecteurs, variétés de dimension trois, topologie de petite dimension, groupe fondamental, singularités, monodromie
Keywords: ordinary differential equations, holomorphic foliations, vector fields, dynamical systems, 3-Manifolds, low-dimensional topology, singularities, fondamental group, monodromy
@article{ASENS_2008_4_41_6_855_0,
     author = {Mar{\'\i}n, David and Mattei, Jean-Fran\c{c}ois},
     title = {Incompressibilit\'e des feuilles de germes de feuilletages holomorphes singuliers},
     journal = {Annales scientifiques de l'\'Ecole Normale Sup\'erieure},
     pages = {855--903},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     volume = {4e s{\'e}rie, 41},
     number = {6},
     year = {2008},
     doi = {10.24033/asens.2083},
     mrnumber = {2504107},
     zbl = {1207.32028},
     language = {fr},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.24033/asens.2083/}
}
TY  - JOUR
AU  - Marín, David
AU  - Mattei, Jean-François
TI  - Incompressibilité des feuilles de germes de feuilletages holomorphes singuliers
JO  - Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure
PY  - 2008
SP  - 855
EP  - 903
VL  - 41
IS  - 6
PB  - Société mathématique de France
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.24033/asens.2083/
DO  - 10.24033/asens.2083
LA  - fr
ID  - ASENS_2008_4_41_6_855_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Marín, David
%A Mattei, Jean-François
%T Incompressibilité des feuilles de germes de feuilletages holomorphes singuliers
%J Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure
%D 2008
%P 855-903
%V 41
%N 6
%I Société mathématique de France
%U http://archive.numdam.org/articles/10.24033/asens.2083/
%R 10.24033/asens.2083
%G fr
%F ASENS_2008_4_41_6_855_0
Marín, David; Mattei, Jean-François. Incompressibilité des feuilles de germes de feuilletages holomorphes singuliers. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 41 (2008) no. 6, pp. 855-903. doi : 10.24033/asens.2083. http://archive.numdam.org/articles/10.24033/asens.2083/

[1] M. Belliart, I. Liousse & F. Loray, Sur l’existence de points fixes attractifs pour les sous-groupes de Aut (𝐂 ,0 ), C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 324 (1997), 443-446. | MR | Zbl

[2] C. Camacho, On the local structure of conformal mappings and holomorphic vector fields in 𝐂 2 , in Journées Singulières de Dijon (Univ. Dijon, Dijon, 1978), Astérisque 59, Soc. Math. France, 1978, 3, 83-94. | MR | Zbl

[3] C. Camacho, A. Lins Neto & P. Sad, Topological invariants and equidesingularization for holomorphic vector fields, J. Differential Geom. 20 (1984), 143-174. | MR | Zbl

[4] C. Camacho & P. Sad, Invariant varieties through singularities of holomorphic vector fields, Ann. of Math. 115 (1982), 579-595. | MR | Zbl

[5] D. Eisenbud & W. Neumann, Three-dimensional link theory and invariants of plane curve singularities, Annals of Mathematics Studies 110, Princeton University Press, 1985. | MR | Zbl

[6] L. Le Floch, Rigidité générique des feuilletages singuliers, Ann. Sci. École Norm. Sup. 31 (1998), 765-785. | Numdam | MR | Zbl

[7] F. Loray, Pseudo-groupe d'une singularité de feuilletage holomorphe en dimension deux, preprint, hal.archives-ouvertes.fr/hal-00016434, 2005.

[8] W. Magnus, A. Karrass & D. Solitar, Combinatorial group theory, second éd., Dover Publications Inc., 2004. | MR | Zbl

[9] D. Marín, Moduli spaces of germs of holomorphic foliations in the plane, Comment. Math. Helv. 78 (2003), 518-539. | MR | Zbl

[10] J. Martinet & J.-P. Ramis, Classification analytique des équations différentielles non linéaires résonnantes du premier ordre, Ann. Sci. École Norm. Sup. 16 (1983), 571-621. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[11] J.-F. Mattei & R. Moussu, Holonomie et intégrales premières, Ann. Sci. École Norm. Sup. 13 (1980), 469-523. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[12] J.-F. Mattei & E. Salem, Modules formels locaux de feuilletages holomorphes, preprint arXiv :math/0402256.

[13] J. Milnor, Singular points of complex hypersurfaces, Annals of Math. Studies, No. 61, Princeton University Press, 1968. | MR | Zbl

[14] D. Mumford, The topology of normal singularities of an algebraic surface and a criterion for simplicity, Publ. Math. I.H.É.S. 9 (1961), 5-22. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[15] P. Orlik, Seifert manifolds, Lecture Notes in Math., Vol. 291, Springer, 1972. | MR | Zbl

[16] L. Ortiz-Bobadilla, E. Rosales-González & S. M. Voronin, Extended holonomy and topological invariance of the vanishing holonomy group, Journal of Dynamical and Control Systems 14 (2008), 299-358. | MR | Zbl

[17] A. Seidenberg, Reduction of singularities of the differential equation Ady=Bdx, Amer. J. Math. 90 (1968), 248-269. | MR | Zbl

[18] C. T. C. Wall, Singular points of plane curves, London Math. Soc. Student Texts 63, Cambridge University Press, 2004. | MR | Zbl

[19] W. Wasow, Asymptotic expansions for ordinary differential equations, Dover Publications Inc., 1987. | MR | Zbl

[20] J.-C. Yoccoz, Théorème de Siegel, nombres de Bruno et polynômes quadratiques, Astérisque 231 (1995), 3-88. | Numdam | MR

Cité par Sources :