Bruhat-Tits theory from Berkovich's point of view. I. Realizations and compactifications of buildings

Rémy, Bertrand; Thuillier, Amaury; Werner, Annette

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 43 (2010) no. 3, pp. 461-554.

Nous étudions les immeubles de Bruhat-Tits et leurs compactifications au moyen de la géométrie analytique sur les corps complets non archimédiens au sens de Berkovich. Pour tout groupe réductif $\mathrm{G}$ sur un corps non archimédien convenable $k$, nous définissons une application de l’immeuble de Bruhat-Tits $ℬ(\mathrm{G},k)$ vers l’espace analytique de Berkovich ${\mathrm{G}}^{\mathrm{an}}$ associé à $\mathrm{G}$. En composant cette application avec la projection sur les variétés de drapeaux, nous obtenons une famille de compactifications de $ℬ(\mathrm{G},k)$. Ceci généralise des résultats de Berkovich sur le cas déployé. En outre, nous démontrons que les strates au bord des immeubles compactifiés sont précisément les immeubles de Bruhat-Tits associés à certaines classes de sous-groupes paraboliques. Nous étudions également les stabilisateurs des points au bord et démontrons un théorème de décomposition de Bruhat mixte pour ces groupes.

We investigate Bruhat-Tits buildings and their compactifications by means of Berkovich analytic geometry over complete non-Archimedean fields. For every reductive group $\mathrm{G}$ over a suitable non-Archimedean field $k$ we define a map from the Bruhat-Tits building $ℬ(\mathrm{G},k)$ to the Berkovich analytic space ${\mathrm{G}}^{\mathrm{an}}$ associated with $\mathrm{G}$. Composing this map with the projection of ${\mathrm{G}}^{\mathrm{an}}$ to its flag varieties, we define a family of compactifications of $ℬ(\mathrm{G},k)$. This generalizes results by Berkovich in the case of split groups. Moreover, we show that the boundary strata of the compactified buildings are precisely the Bruhat-Tits buildings associated with a certain class of parabolics. We also investigate the stabilizers of boundary points and prove a mixed Bruhat decomposition theorem for them.

Classification : 20E42, 51E24, 14L15, 14G22
Keywords: algebraic group, local field, Berkovich geometry, Bruhat-Tits building, compactification
Mot clés : groupe algébrique, corps local, géométrie de Berkovich, immeuble de Bruhat-Tits, compactification

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