Geometric theta-lifting for the dual pair 𝕊𝕆 2m ,𝕊p 2n  [ Thêta-lifting géométrique pour la paire duale 𝕊𝕆 2m ,𝕊p 2n  ]
Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 44 (2011) no. 3, p. 427-493
Soit X une courbe projective lisse sur un corps algébriquement clos de caractéristique >2. On considère la paire duale H= SO 2m , G= Sp 2n sur XH est déployé. Notons Bun G et Bun H les champs de modules des G-torseurs et des H-torseurs sur X. Le faisceau thêta Aut G,H sur Bun G × Bun H donne lieu aux foncteurs de thêta-lifting F G :D( Bun H )D( Bun G ) et F H :D( Bun G )D( Bun H ) entre les catégories dérivées correspondantes. On décrit la relation entre ces foncteurs et les opérateurs de Hecke. Dans deux cas particuliers cela devient la fonctorialité de Langlands géométrique pour cette paire (cas partout non ramifié). À savoir, on montre que pour n=m le foncteur F G :D( Bun H )D( Bun G ) commute avec les opérateurs de Hecke par rapport à l’inclusion des groupes duaux de Langlands H ˇ ˜ SO 2n SO 2n+1 ˜G ˇ. Pour m=n+1 on montre que le foncteur F H :D( Bun G )D( Bun H ) commute avec les opérateurs de Hecke par rapport à l’inclusion des groupes duaux de Langlands G ˇ ˜ SO 2n+1 SO 2n+2 ˜H ˇ. Dans d’autres cas la relation est plus complexe et fait intervenir le SL 2 d’Arthur. Comme une étape de la preuve, on établit le thêta-lifting géométrique pour la paire duale GL m , GL n . Nos résultats globaux sont déduits de résultats locaux correspondants, qui géométrisent un théorème de Rallis.
Let X be a smooth projective curve over an algebraically closed field of characteristic >2. Consider the dual pair H= SO 2m ,G= Sp 2n over X with H split. Write Bun G and Bun H for the stacks of G-torsors and H-torsors on X. The theta-kernel Aut G,H on Bun G × Bun H yields theta-lifting functors F G :D( Bun H )D( Bun G ) and F H :D( Bun G )D( Bun H ) between the corresponding derived categories. We describe the relation of these functors with Hecke operators. In two particular cases these functors realize the geometric Langlands functoriality for the above pair (in the non ramified case). Namely, we show that for n=m the functor F G :D( Bun H )D( Bun G ) commutes with Hecke operators with respect to the inclusion of the Langlands dual groups H ˇ ˜ SO 2n SO 2n+1 ˜G ˇ. For m=n+1 we show that the functor F H :D( Bun G )D( Bun H ) commutes with Hecke operators with respect to the inclusion of the Langlands dual groups G ˇ ˜ SO 2n+1 SO 2n+2 ˜H ˇ. In other cases the relation is more complicated and involves the SL 2 of Arthur. As a step of the proof, we establish the geometric theta-lifting for the dual pair GL m , GL n . Our global results are derived from the corresponding local ones, which provide a geometric analog of a theorem of Rallis.
DOI : https://doi.org/10.24033/asens.2147
Classification:  11R39,  14H60
Mots clés: thêta-lifting, Langlands géométrique, fonctorialité de Langlands, faisceau thêta
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Lysenko, Sergey. Geometric theta-lifting for the dual pair $\mathbb {SO}_{2m}, \mathbb {S}\mathrm {p}_{2n}$. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 44 (2011) no. 3, pp. 427-493. doi : 10.24033/asens.2147. http://www.numdam.org/item/ASENS_2011_4_44_3_427_0/

[1] J. Adams, L-functoriality for dual pairs, Astérisque 171-172 (1989), 85-129. | Zbl 0715.22016

[2] A. A. Beilinson, J. Bernstein & P. Deligne, Faisceaux pervers, Astérisque 100 (1982), 5-171. | MR 751966 | Zbl 0536.14011

[3] A. A. Beilinson & V. Drinfeld, Quantization of Hitchin's integrable system and Hecke eigen-sheaves, preprint http://www.math.uchicago.edu/~mitya/langlands.html. | MR 1385674

[4] T. Braden, Hyperbolic localization of intersection cohomology, Transform. Groups 8 (2003), 209-216. | MR 1996415 | Zbl 1026.14005

[5] A. Braverman & D. Gaitsgory, Geometric Eisenstein series, Invent. Math. 150 (2002), 287-384. | MR 1933587 | Zbl 1046.11048

[6] E. Frenkel, D. Gaitsgory & K. Vilonen, Whittaker patterns in the geometry of moduli spaces of bundles on curves, Ann. of Math. 153 (2001), 699-748. | MR 1836286 | Zbl 1070.11050

[7] E. Frenkel, D. Gaitsgory & K. Vilonen, On the geometric Langlands conjecture, J. Amer. Math. Soc. 15 (2002), 367-417. | MR 1887638 | Zbl 1071.11039

[8] D. Gaitsgory, Construction of central elements in the affine Hecke algebra via nearby cycles, Invent. Math. 144 (2001), 253-280. | Zbl 1072.14055

[9] D. Gaitsgory, On a vanishing conjecture appearing in the geometric Langlands correspondence, Ann. of Math. 160 (2004), 617-682. | MR 2123934 | Zbl 1129.11050

[10] D. Gaitsgory, On de Jong's conjecture, Israel J. Math. 157 (2007), 155-191. | MR 2342444 | Zbl 1123.11020

[11] D. Gaitsgory & D. Nadler, Spherical varieties and Langlands duality, Mosc. Math. J. 10 (2010), 65-137. | MR 2668830 | Zbl 1207.22013

[12] R. Howe, Another look at the local θ-correspondence for an unramified dual pair, in Festschrift in honor of I. I. Piatetski-Shapiro on the occasion of his sixtieth birthday, Part I (Ramat Aviv, 1989), Israel Math. Conf. Proc. 2, Weizmann, 1990, 93-124. | MR 1159101 | Zbl 0722.22010

[13] M. Kapranov & E. Vasserot, Vertex algebras and the formal loop space, Publ. Math. I.H.É.S. 100 (2004), 209-269. | Numdam | MR 2102701 | Zbl 1106.17038

[14] S. S. Kudla, On the local theta-correspondence, Invent. Math. 83 (1986), 229-255. | MR 818351 | Zbl 0583.22010

[15] S. S. Kudla, Notes on the local theta correspondence, lecture notes http://www.math.toronto.edu/~skudla/castle.pdf, 1996. | Zbl 0583.22010

[16] V. Lafforgue & S. Lysenko, Geometric Weil representation: local field case, Compos. Math. 145 (2009), 56-88. | Zbl 1220.22015

[17] Y. Laszlo & M. Olsson, The six operations for sheaves on Artin stacks. II. Adic coefficients, Publ. Math. I.H.É.S. 107 (2008), 169-210. | Numdam | Zbl 1191.14003

[18] G. Laumon, Transformation de Fourier, constantes d'équations fonctionnelles et conjecture de Weil, Publ. Math. I.H.É.S. 65 (1987), 131-210. | Numdam | Zbl 0641.14009

[19] S. Lysenko, Moduli of metaplectic bundles on curves and theta-sheaves, Ann. Sci. École Norm. Sup. 39 (2006), 415-466. | Numdam | Zbl 1111.14029

[20] S. Lysenko, Geometric Waldspurger periods, Compos. Math. 144 (2008), 377-438. | Zbl 1209.14010

[21] I. Mirković & K. Vilonen, Geometric Langlands duality and representations of algebraic groups over commutative rings, Ann. of Math. 166 (2007), 95-143. | Zbl 1138.22013

[22] C. Mœglin, M.-F. Vignéras & J.-L. Waldspurger, Correspondances de Howe sur un corps p-adique, Lecture Notes in Math. 1291, Springer, 1987. | Zbl 0642.22002

[23] S. Rallis, Langlands' functoriality and the Weil representation, Amer. J. Math. 104 (1982), 469-515. | Zbl 0532.22016