Explicit cogenerators for the homotopy category of projective modules over a ring  [ Cogénérateurs explicites pour la catégorie homotopique des modules projectifs sur un anneau ]
Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 44 (2011) no. 4, p. 607-629
Soit R un anneau. Dans deux articles antérieurs [12, 14], on a étudié la catégorie d’homotopie 𝐊(R- Proj ) des R-modules projectifs. On a construit un ensemble de générateurs pour cette catégorie et on a démontré que la catégorie est compactement générée de niveau 1 pour chaque anneau R, mais qu’elle n’est pas toujours compactement générée. Toutefois, pour R un anneau suffisamment raisonnable, la catégorie 𝐊(R- Proj ) est compactement générée. On a étudié l’inclusion j ! :𝐊(R- Proj )𝐊(R- Flat ) et la sous-catégorie orthogonale 𝒮=𝐊(R- Proj ) . On a même montré que l’inclusion 𝒮𝐊(R- Flat ) admet un adjoint à droite  ; il s’ensuit qu’une certaine application naturelle 𝐊(R- Proj )𝒮 est une équivalence. Dans le présent article, on produit un ensemble de cogénérateurs pour 𝐊(R- Proj ). Plus précisément, cet ensemble de cogénérateurs appartient naturellement à la catégorie équivalente 𝒮 𝐊(R- Proj ) ; on peut l’utiliser pour obtenir une nouvelle démonstration du fait que l’inclusion 𝒮𝐊(R- Flat ) admet un adjoint à droite. Mais il y a déjà plusieurs autres démonstrations de ce fait.
Let R be a ring. In two previous articles [12, 14] we studied the homotopy category 𝐊(R- Proj ) of projective R-modules. We produced a set of generators for this category, proved that the category is 1 -compactly generated for any ring R, and showed that it need not always be compactly generated, but is for sufficiently nice R. We furthermore analyzed the inclusion j ! :𝐊(R- Proj )𝐊(R- Flat ) and the orthogonal subcategory 𝒮=𝐊(R- Proj ) . And we even showed that the inclusion 𝒮𝐊(R- Flat ) has a right adjoint; this forces some natural map to be an equivalence 𝐊(R- Proj )𝒮 . In this article we produce a set of cogenerators for 𝐊(R- Proj ). More accurately, this set of cogenerators naturally lies in the equivalent 𝒮 𝐊(R- Proj ); it can be used to give yet another proof of the fact that the inclusion 𝒮𝐊(R- Flat ) has a right adjoint. But by now several proofs of this fact already exist.
DOI : https://doi.org/10.24033/asens.2151
Classification:  18E30,  18G05
Mots clés: catégories triangulées, générateurs, cogénérateurs, modules plats, modules projectifs
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Neeman, Amnon. Explicit cogenerators for the homotopy category of projective modules over a ring. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 44 (2011) no. 4, pp. 607-629. doi : 10.24033/asens.2151. http://www.numdam.org/item/ASENS_2011_4_44_4_607_0/

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