On the infinite fern of Galois representations of unitary type
[Sur la fougère infinie des représentations galoisiennes de type unitaire]
Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 44 (2011) no. 6, pp. 963-1019.

Soient E un corps de nombres CM, p un nombre premier impair totalement décomposé dans E, et soit X l’espace analytique p-adique paramétrant les classes d’isomorphie de représentations p-adiques semisimples de dimension 3 de Gal (E ¯/E) satisfaisant une condition d’autodualité « de type U(3) ». Nous étudions un analogue de la fougère infinie de Gouvêa-Mazur dans ce contexte et démontrons que l’adhérence Zariski des points modulaires de X a toutes ses composantes irréductibles de dimension au moins 3[E:]. Au passage, nous prouvons en toute dimension que toute déformation à l’ordre 1 d’une représentation cristalline suffisamment générique de Gal ( ¯ p / p ) est une combinaison linéaire de déformations triangulines, et que les variétés de Hecke unitaires sont étales sur l’espace des poids aux points classiques non critiques. Enfin, nous obtenons un critère de surjectivité de l’application de localisation en p du groupe de Selmer adjoint ' d’une représentation galoisienne p-adique attachée à une représentation automorphe cuspidale cohomologique de GL n (𝔸 E ) qui est de type U(n) (pour tout n).

Let E be a CM number field, p an odd prime totally split in E, and let X be the p-adic analytic space parameterizing the isomorphism classes of 3-dimensional semisimple p-adic representations of  Gal (E ¯/E) satisfying a selfduality condition “of type U(3)”. We study an analogue of the infinite fern of Gouvêa-Mazur in this context and show that each irreducible component of the Zariski-closure of the modular points in X has dimension at least 3[E:]. As important steps, and in any rank, we prove that any first order deformation of a generic enough crystalline representation of  Gal ( ¯ p / p ) is a linear combination of trianguline deformations, and that unitary eigenvarieties are étale over weight space at the non-critical classical points. As another application, we give a surjectivity criterion for the localization at p of the adjoint ' Selmer group (Pronounce “adjoint primed Selmer group.”) of a p-adic Galois representation attached to a cuspidal cohomological automorphic representation of  GL n (𝔸 E ) of type U(n) (for any n).

DOI : 10.24033/asens.2158
Classification : 11F80, 11F33, 11F70, 11F85, 11F55, 14G22
Keywords: Galois representation, automorphic form, unitary group, trianguline, infinite fern, eigenvariety, Selmer group
Mot clés : représentation galoisienne, p-adique, forme automorphe, groupe unitaire, trianguline, fougère infinie, variété de Hecke, groupe de Selmer
@article{ASENS_2011_4_44_6_963_0,
     author = {Chenevier, Ga\"etan},
     title = {On the infinite fern of {Galois} representations of unitary type},
     journal = {Annales scientifiques de l'\'Ecole Normale Sup\'erieure},
     pages = {963--1019},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     volume = {Ser. 4, 44},
     number = {6},
     year = {2011},
     doi = {10.24033/asens.2158},
     zbl = {1279.11056},
     language = {en},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.24033/asens.2158/}
}
TY  - JOUR
AU  - Chenevier, Gaëtan
TI  - On the infinite fern of Galois representations of unitary type
JO  - Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure
PY  - 2011
SP  - 963
EP  - 1019
VL  - 44
IS  - 6
PB  - Société mathématique de France
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.24033/asens.2158/
DO  - 10.24033/asens.2158
LA  - en
ID  - ASENS_2011_4_44_6_963_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Chenevier, Gaëtan
%T On the infinite fern of Galois representations of unitary type
%J Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure
%D 2011
%P 963-1019
%V 44
%N 6
%I Société mathématique de France
%U http://archive.numdam.org/articles/10.24033/asens.2158/
%R 10.24033/asens.2158
%G en
%F ASENS_2011_4_44_6_963_0
Chenevier, Gaëtan. On the infinite fern of Galois representations of unitary type. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 44 (2011) no. 6, pp. 963-1019. doi : 10.24033/asens.2158. http://archive.numdam.org/articles/10.24033/asens.2158/

[1] J. Bellaïche & G. Chenevier, Families of Galois representations and Selmer groups, Astérisque 324 (2009). | MR | Zbl

[2] J. Bellaïche & G. Chenevier, The sign of Galois representations attached to automorphic forms for unitary groups, Compositio Math. 147 (2011), 1137-1352. | MR | Zbl

[3] L. Berger, Représentations p-adiques et équations différentielles, Invent. Math. 148 (2002), 219-284. | MR | Zbl

[4] L. Berger, Équations différentielles p-adiques et (φ,N)-modules filtrés, Astérisque 319 (2008), 13-38. | Numdam | MR | Zbl

[5] S. Bloch & K. Kato, L-functions and Tamagawa numbers of motives, in The Grothendieck Festschrift, Vol. I, Progr. Math. 86, Birkhäuser, 1990, 333-400. | MR | Zbl

[6] G. Böckle, On the density of modular points in universal deformation spaces, Amer. J. Math. 123 (2001), 985-1007. | MR | Zbl

[7] S. Bosch, U. Güntzer & R. Remmert, Non-Archimedean analysis, Grund. Math. Wiss. 261, Springer, 1984. | MR | Zbl

[8] K. Buzzard, Eigenvarieties 2007, 59-120. | MR | Zbl

[9] A. Caraiani, Local-global compatibility and the action of monodromy on nearby cycles, preprint arXiv:1010.2188. | MR

[10] G. Chenevier, Familles p-adiques de formes automorphes pour GL n , J. reine angew. Math. 570 (2004), 143-217. | MR | Zbl

[11] G. Chenevier, Variétés de Hecke des groupes unitaires et représentations galoisiennes, cours Peccot au Collège de France, http://www.math.polytechnique.fr/~chenevier/courspeccot.html, 2008.

[12] G. Chenevier, Une application des variétés de Hecke des groupes unitaires, in [24], 2009.

[13] G. Chenevier, The p-adic analytic space of pseudo-characters of a profinite group, and pseudo-representations over arbitrary rings, preprint arXiv:0809.0415.

[14] G. Chenevier & M. Harris, Construction of automorphic Galois representations II, in [24], 2009.

[15] L. Clozel et al. (éds.), On the stabilization of the trace formula, I, International Press, 2010. | MR

[16] L. Clozel, M. Harris & R. Taylor, Automorphy for some l-adic lifts of automorphic mod l Galois representations, Publ. Math. I.H.É.S. 108 (2008), 1-181. | Numdam | MR | Zbl

[17] H. Cohen & K. Belabas, PARI/GP, http://pari.math.u-bordeaux.fr/.

[18] R. Coleman & B. Mazur, The eigencurve, in Galois representations in arithmetic algebraic geometry (Durham, 1996), London Math. Soc. Lecture Note Ser. 254, Cambridge Univ. Press, 1998, 1-113. | MR | Zbl

[19] P. Colmez, Représentations triangulines de dimension 2, Astérisque 319 (2008), 213-258. | Numdam | MR | Zbl

[20] B. Conrad, Irreducible components of rigid spaces, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 49 (1999), 473-541. | Numdam | MR | Zbl

[21] J. E. Cremona, Algorithms for modular elliptic curves, second éd., Cambridge Univ. Press, 1997. | MR | Zbl

[22] M. Flach, A finiteness theorem for the symmetric square of an elliptic curve, Invent. Math. 109 (1992), 307-327. | MR | Zbl

[23] J.-M. Fontaine & B. Perrin-Riou, Autour des conjectures de Bloch et Kato: cohomologie galoisienne et valeurs de fonctions L, in Motives (Seattle, WA, 1991), Proc. Sympos. Pure Math. 55, Amer. Math. Soc., 1994, 599-706. | MR | Zbl

[24] M. Harris et al., On the stabilization of the trace formula, book project of the Paris G.R.F.A. Seminar, Vol. I and II, http://fa.institut.math.jussieu.fr/node/29.

[25] H. Jacquet & J. A. Shalika, On Euler products and the classification of automorphic forms. II, Amer. J. Math. 103 (1981), 777-815. | MR | Zbl

[26] O. T. R. Jones, An analogue of the BGG resolution for locally analytic principal series, J. Number Theory 131 (2011), 1616-1640. | MR | Zbl

[27] A. J. De Jong, Crystalline Dieudonné module theory via formal and rigid geometry, Publ. Math. I.H.É.S. 82 (1995), 5-96. | Numdam | MR | Zbl

[28] H. H. Kim & F. Shahidi, Functorial products for GL 2 × GL 3 and the symmetric cube for GL 2 , Ann. of Math. 155 (2002), 837-893. | MR | Zbl

[29] M. Kisin, Overconvergent modular forms and the Fontaine-Mazur conjecture, Invent. Math. 153 (2003), 373-454. | MR | Zbl

[30] J.-P. Labesse, Changement de base CM et séries discrètes, in [15, p. 429-470]GRFAbook1, 2009. | MR

[31] R. Liu, Cohomology and duality for (φ,Γ)-modules over the Robba ring, Int. Math. Res. Not. 2008 (2008), art. ID rnm 150, 32. | MR | Zbl

[32] B. Mazur, Deforming Galois representations 1987), Math. Sci. Res. Inst. Publ. 16, Springer, 1989, 385-437. | MR | Zbl

[33] B. Mazur, An “infinite fern” in the universal deformation space of Galois representations, Collect. Math. 48 (1997), 155-193. | MR | Zbl

[34] J. S. Milne, Arithmetic duality theorems, Perspectives in Math. 1, Academic Press Inc., 1986. | MR | Zbl

[35] J. D. Rogawski, Automorphic representations of unitary groups in three variables, Ann. of Math. Studies 123, Princeton Univ. Press, 1990. | MR | Zbl

[36] M. Schlessinger, Functors of Artin rings, Trans. Amer. Math. Soc. 130 (1968), 208-222. | MR | Zbl

[37] J-P. Serre, Facteurs locaux des fonctions zêta des variétés algébriques (définitions et conjectures), in Séminaire de théorie des nombres Delange-Pisot-Poitou, 11, 1969-70, exp. no 19, 1-15. | Numdam | Zbl

[38] S. W. Shin, Galois representations arising from some compact Shimura varieties, to appear in Annals of math. | MR | Zbl

[39] T. Weston, Unobstructed modular deformation problems, Amer. J. Math. 126 (2004), 1237-1252. | MR | Zbl

Cité par Sources :