Troesch complexes and extensions of strict polynomial functors
[Complexes de Troesch et extensions de foncteurs polynomiaux stricts]
Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 45 (2012) no. 1, pp. 53-99.

Nous développons une nouvelle approche des calculs d’ Ext dans la catégorie des foncteurs strictement polynomiaux, en nous basant sur les complexes de Troesch. Nous obtenons ainsi des démonstrations élémentaires de nombreux calculs classiques et de nouveaux résultats. En particulier, nous obtenons une version cohomologique des théorèmes fondamentaux de la théorie classique des invariants de GL n pour n suffisamment grand (et nous donnons une conjecture pour les plus petites valeurs de n). Nous étudions également une suite spectrale de torsion de Frobenius E s,t (F,G,r) qui converge vers les groupes d’extensions Ext 𝒫 𝕜 * (F (r) ,G (r) ) entre foncteurs précomposés par le twist de Frobenius. De nombreux calculs classiques équivalent à l’effondrement de cette suite spectrale à la seconde page (par lacunarité), et elle constitue également un outil pratique pour étudier l’effet de la torsion de Frobenius sur les groupes d’extensions. Nous démontrons de nombreux cas d’effondrement, et nous conjecturons que l’effondrement a toujours lieu.

We develop a new approach of extension calculus in the category of strict polynomial functors, based on Troesch complexes. We obtain new short elementary proofs of numerous classical Ext -computations as well as new results. In particular, we get a cohomological version of the “fundamental theorems” from classical invariant theory for GL n for n big enough (and we give a conjecture for smaller values of n). We also study the “twisting spectral sequence” E s,t (F,G,r) converging to the extension groups Ext 𝒫 𝕜 * (F (r) ,G (r) ) between the twisted functors F (r) and G (r) . Many classical Ext computations simply amount to the collapsing of this spectral sequence at the second page (for lacunary reasons), and it is also a convenient tool to study the effect of the Frobenius twist on  Ext groups. We prove many cases of collapsing, and we conjecture collapsing is a general fact.

DOI : 10.24033/asens.2160
Classification : 18G10, 20G10, 18G40
Keywords: strict polynomial functors, extensions, Frobenius twist, general linear group, cohomology algebras, functor homology, rational cohomology
Mot clés : foncteurs strictement polynomiaux, extensions, torsion de Frobenius, groupe linéaire, algèbres de cohomologie, homologie des foncteurs, cohomologie rationnelle
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Touzé, Antoine. Troesch complexes and extensions of strict polynomial functors. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 45 (2012) no. 1, pp. 53-99. doi : 10.24033/asens.2160. http://archive.numdam.org/articles/10.24033/asens.2160/

[1] D. J. Benson, Representations and cohomology. I, second éd., Cambridge Studies in Advanced Math. 30, Cambridge Univ. Press, 1998. | MR | Zbl

[2] D. J. Benson, Representations and cohomology. II, second éd., Cambridge Studies in Advanced Math. 31, Cambridge Univ. Press, 1998. | MR | Zbl

[3] M. Chałupnik, Extensions of strict polynomial functors, Ann. Sci. École Norm. Sup. 38 (2005), 773-792. | Numdam | MR | Zbl

[4] M. Chałupnik, Koszul duality and extensions of exponential functors, Adv. Math. 218 (2008), 969-982. | MR | Zbl

[5] E. Cline, B. Parshall, L. Scott & W. Van Der Kallen, Rational and generic cohomology, Invent. Math. 39 (1977), 143-163. | MR | Zbl

[6] C. De Concini & C. Procesi, A characteristic free approach to invariant theory, Adv. Math. 21 (1976), 330-354. | MR | Zbl

[7] V. Franjou & E. M. Friedlander, Cohomology of bifunctors, Proc. Lond. Math. Soc. 97 (2008), 514-544. | MR | Zbl

[8] V. Franjou, E. M. Friedlander, A. Scorichenko & A. Suslin, General linear and functor cohomology over finite fields, Ann. of Math. 150 (1999), 663-728. | MR | Zbl

[9] V. Franjou, J. Lannes & L. Schwartz, Autour de la cohomologie de Mac Lane des corps finis, Invent. Math. 115 (1994), 513-538. | MR | Zbl

[10] V. Franjou & T. Pirashvili, Strict polynomial functors and coherent functors, Manuscripta Math. 127 (2008), 23-53. | MR | Zbl

[11] E. M. Friedlander & A. Suslin, Cohomology of finite group schemes over a field, Invent. Math. 127 (1997), 209-270. | MR | Zbl

[12] J. C. Jantzen, Representations of algebraic groups, second éd., Mathematical Surveys and Monographs 107, Amer. Math. Soc., 2003. | Zbl

[13] W. Van Der Kallen, Cohomology with Grosshans graded coefficients, in Invariant theory in all characteristics, CRM Proc. Lecture Notes 35, Amer. Math. Soc., 2004, 127-138. | MR | Zbl

[14] B. Totaro, Projective resolutions of representations of GL (n), J. reine angew. Math. 482 (1997), 1-13. | MR | Zbl

[15] A. Touzé, Cohomology of classical algebraic groups from the functorial viewpoint, Adv. Math. 225 (2010), 33-68. | MR | Zbl

[16] A. Touzé, Universal classes for algebraic groups, Duke Math. J. 151 (2010), 219-249. | MR | Zbl

[17] A. Touzé & W. Van Der Kallen, Bifunctor cohomology and cohomological finite generation for reductive groups, Duke Math. J. 151 (2010), 251-278. | MR | Zbl

[18] A. Troesch, Une résolution injective des puissances symétriques tordues, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 55 (2005), 1587-1634. | Numdam | MR | Zbl

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