Invariants, torsion indices and oriented cohomology of complete flags  [ Invariants, indices de torsion et cohomologie orientée des variétés de drapeaux complets ]
Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 46 (2013) no. 3, p. 405-448
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Soit G un groupe algébrique linéaire semi-simple déployé sur un corps et soit T un tore maximal déployé de G. Étant donnée une cohomologie orientée 𝗁 (anneau de Chow, K 0 de Grothendieck, K-théorie connective, etc.) et sa loi de groupe formel F, nous construisons un anneau appelé anneau de groupe formel, associé à F et aux caractères de T, puis un homomorphisme caractéristique c de cet anneau de groupe formel vers l’anneau 𝗁(G/B)G/B est la variété des sous-groupes de Borel de G. Le résultat principal de cet article montre que, lorsque l’indice de torsion du groupe G est inversé, c est surjectif et son noyau est engendré par des éléments invariants sous l’action du groupe de Weyl de G. En guise d’application, nous fournissons un algorithme qui permet de calculer la structure d’anneau de 𝗁(G/B) et d’y calculer les classes de variétés de Schubert désingularisées et leur produits.
Let G be a split semisimple linear algebraic group over a field and let T be a split maximal torus of G. Let 𝗁 be an oriented cohomology (algebraic cobordism, connective K-theory, Chow groups, Grothendieck’s K 0 , etc.) with formal group law F. We construct a ring from F and the characters of T, that we call a formal group ring, and we define a characteristic ring morphism c from this formal group ring to 𝗁(G/B) where G/B is the variety of Borel subgroups of G. Our main result says that when the torsion index of G is inverted, c is surjective and its kernel is generated by elements invariant under the Weyl group of G. As an application, we provide an algorithm to compute the ring structure of 𝗁(G/B) and to describe the classes of desingularized Schubert varieties and their products.
DOI : https://doi.org/10.24033/asens.2192
Classification:  14F43,  14L05,  14M15,  19L41,  20G10
Mots clés: groupe algébrique linéaire, cohomologie orientée, loi de groupe formel
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     author = {Calm\`es, Baptiste and Petrov, Viktor and Zainoulline, Kirill},
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     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
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Calmès, Baptiste; Petrov, Viktor; Zainoulline, Kirill. Invariants, torsion indices and oriented cohomology of complete flags. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 46 (2013) no. 3, pp. 405-448. doi : 10.24033/asens.2192. http://www.numdam.org/item/ASENS_2013_4_46_3_405_0/

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