Enlacements d'intervalles et torsion de Whitehead
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 129 (2001) no. 2, pp. 215-235.

Soit E un enlacement de n intervalles dans D 2 ×I d’extérieur X et soit X 0 =XD 2 ×0. On utilise la propriété de la paire (X,X 0 ) d’être Λ-acyclique pour certaines représentation ρ de l’anneau du groupe fondamental π de X dans un anneau Λ pour construire des invariants de torsion à valeurs dans le groupe K 1 (Λ)/ρ(±π). Un cas particulier est le polynôme d’Alexander en n variables quand Λ est l’anneau des fractions rationnelles P/Q avec Q(1,1,,1)=1 et ρ est simplement l’abélianisation.

Let E be a n-component string link in D 2 ×I with exterior X and X 0 =XD 2 ×0. Then the pair (X,X 0 ) is -acyclic and, given a representation ρ:[π]Λ, with π=π 1 (X), we use the property that this pair is Λ-acyclic for various representations ρ and rings Λ to construct torsion invariants for string links taking their values in the group K 1 (Λ)/ρ(±π). A particular case is the Alexander polynomial in n variables when Λ is the ring of rational fractions P/Q with Q(1,1,,1)=1 and ρ is simply the abelianization map.

DOI : 10.24033/bsmf.2395
Classification : 19B28, 57M25, 57Q10
Mot clés : Nœuds, enlacements d'intervalles, torsion de Whitehead
Keywords: knots, string links, Whitehead torsion
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Le Dimet, Jean-Yves. Enlacements d'intervalles et torsion de Whitehead. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 129 (2001) no. 2, pp. 215-235. doi : 10.24033/bsmf.2395. http://archive.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2395/

[1] K. S. Brown - Cohomology of groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 87, Springer-Verlag, New York, 1982. | MR | Zbl

[2] T. A. Chapman - « Topological invariance of Whitehead torsion », Amer. J. Math. 96 (1974), p. 488-497. | MR | Zbl

[3] P. M. Cohn - Free rings and their relations, Academic Press, London, 1971, London Mathematical Society Monographs, No. 2. | MR | Zbl

[4] C. Faith - Algebra : rings, modules and categories. I, Springer-Verlag, New York, 1973, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 190. | MR | Zbl

[5] R. H. Fox - « Free differential calculus. I. Derivation in the free group ring », Ann. of Math. (2) 57 (1953), p. 547-560. | MR | Zbl

[6] -, « Free differential calculus. II. The isomorphism problem of groups », Ann. of Math. (2) 59 (1954), p. 196-210. | MR | Zbl

[7] N. Habegger & G. Masbaum - « The Kontsevich integral and Milnor's invariants », Topology 39 (2000), no. 6, p. 1253-1289. | MR | Zbl

[8] P. Kirk, C. Livingston & Z. Wang - « The Gassner representation for string links », Commun. Contemp. Math. 3 (2001), no. 1, p. 87-136. | MR | Zbl

[9] J.-Y. Le Dimet - « Cobordisme d'enlacements de disques », Mém. Soc. Math. France (N.S.) (1988), no. 32, p. ii+92. | Numdam | MR | Zbl

[10] J. P. Levine - « Link concordance and algebraic closure. II », Invent. Math. 96 (1989), no. 3, p. 571-592. | MR | Zbl

[11] J. Milnor - « A duality theorem for Reidemeister torsion », Ann. of Math. (2) 76 (1962), p. 137-147. | MR | Zbl

[12] -, « Whitehead torsion », Bull. Amer. Math. Soc. 72 (1966), p. 358-426. | MR | Zbl

[13] J. Rosenberg - Algebraic K-theory and its applications, Graduate Texts in Mathematics, vol. 147, Springer-Verlag, New York, 1994. | MR | Zbl

[14] P. Vogel - « On the obstruction group in homology surgery », Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1982), no. 55, p. 165-206. | Numdam | MR | Zbl

[15] M. Wada - « Twisted Alexander polynomial for finitely presentable groups », Topology 33 (1994), no. 2, p. 241-256. | MR | Zbl

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