Résultats sur la conjecture de dualité étrange sur le plan projectif
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) no. 1, pp. 1-33.

La conjecture de « dualité étrange » de Le Potier donne un isomorphisme entre l’espace des sections du fibré déterminant sur deux espaces de modules différents de faisceaux semi-stables sur le plan projectif 2 . On considère deux classes orthogonales c,u dans l’algèbre de Grothendieck K( 2 ) telles que c est de rang strictement positif et u est de rang zéro, et on note M c et M u les espaces de modules de faisceaux semi-stables de classe c, respectivement u sur 2 . Il existe sur M c (resp. M u ) un fibré déterminant inversible 𝒟 u (resp. 𝒟 c ) et le produit tensoriel externe 𝒟 c 𝒟 c sur l’espace produit M c M c a une section canonique σ c,u qui fournit une application linéaire 𝒟 c,u :H 0 (M u ,𝒟 c ) * H 0 (M c ,𝒟 u ). Si M c n’est pas vide, la conjecture affirme que 𝒟 c,u est un isomorphisme. Nous prouvons la conjecture dans le cas particulier où c est de rang 2, première classe de Chern nulle et deuxième classe de Chern c 2 (c)=n5, et u est de degré d(u)3 et caractéristique d’Euler-Poincaré nulle. Nous donnons la série génératrice P(t)= k0 t k h 0 (M c ,𝒟 u k ) pour c 2 (c)=3, c 2 (c)=4, d(u)=1, pour les classes c et u considérées ci-dessus.

Le Potier’s ‘Strange Duality’ conjecture gives an isomorphism between the space of sections of the determinant bundle on two different moduli spaces of semi-stable sheaves on the complex projective plane 2 . We consider two orthogonal classes c,u in the Grothendieck algebra K( 2 ) such that c is of positive rank and u of rank zero, and we call M c and M u the moduli spaces of semi-stable sheaves of class c, respectively u on 2 . There exists on M c (resp. M u ) a determinant bundle 𝒟 u (resp. 𝒟 c ) and the product fibre bundle 𝒟 c 𝒟 c on the product space M c M c has a canonical section σ c,u which provides a linear application 𝒟 c,u :H 0 (M u ,𝒟 c ) * H 0 (M c ,𝒟 u ). If M c is not empty, 𝒟 c,u is conjectured to be an isomorphism. We prove the conjecture in the particular case where c is of rank 2, zero first Chern class and second Chern class c 2 (c)5, and u is of degree d(u)3 and zero Euler-Poincaré characteristic. In addition we give the generating series P(t)= k0 t k h 0 (M c ,𝒟 u k ) for c 2 (c)=3, c 2 (c)=4, d(u)=1, for the particular classes c and u considered above.

DOI : 10.24033/bsmf.2410
Classification : 14D20, 14F05, 14J60
Mot clés : espaces de modules, fibré déterminant, dualité étrange, séries génératrices
Keywords: moduli spaces, determinant bundle, strange duality, generating series
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Danila, Gentiana. Résultats sur la conjecture de dualité étrange sur le plan projectif. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) no. 1, pp. 1-33. doi : 10.24033/bsmf.2410. http://archive.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2410/

[1] A. Altman, A. Iarrobino & S. Kleiman - « Irreducibility of the compactified jacobian », Nordic Summer School/NAVF, Symposium in Mathematics, Oslo, August 5-25, 1976. | MR | Zbl

[2] W. Barth - « Moduli of vector bundles on projective plane », Invent. Math. 42 (1977), p. 63-91. | MR | Zbl

[3] P. Baum, W. Fulton & R. Macpherson - « Riemann-Roch and topological 𝒦 theory for singular varieties », Acta Math. 143 (1979), no. 3-4, p. 155-192. | MR | Zbl

[4] J.-F. Boutot - « Singularités rationnelles et quotients par les groupes réductifs », Invent. Math. 88 (1987), p. 65-68. | MR | Zbl

[5] G. Danila - « Sections du fibré déterminant sur l’espace de modules des faisceaux semi-stables de rang 2 sur le plan projectif », Ann. Inst. Fourier Grenoble 50 (2000), p. 1323-1374. | Numdam | MR | Zbl

[6] J.-M. Drézet - « Fibrés exceptionnels et variétés de modules de faisceaux semi-stables sur 2 », J. reine angew. Math. 380 (1987), p. 14-58. | MR | Zbl

[7] -, « Groupe de Picard des variétés de modules de faisceaux semi-stables sur 2 () », Ann. Inst. Fourier Grenoble 38 (1988), p. 105-168. | Numdam | MR | Zbl

[8] J.-M. Drézet & M. Narasimhan - « Groupe de Picard des variétés de modules de fibrés semi-stables sur les courbes algébriques », Invent. Math. 97 (1989), p. 53-94. | MR | Zbl

[9] H. Esnault & E. Viehweg - Lectures on vanishing theorems, DMV Seminar, vol. 20, Birkhäuser Verlag, Basel, 1992. | MR | Zbl

[10] W. Fulton - Intersection theory, Springer-Verlag, 1984. | MR | Zbl

[11] A. Grothendieck - Local cohomology, Lecture Notes Series, vol. 41, 1967. | MR | Zbl

[12] R. Hartshorne - Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, Springer-Verlag, 1977. | MR | Zbl

[13] M. He - « Espaces de modules de systèmes cohérents », Int. J. of Maths 9-5 (1998), p. 545-598. | Zbl

[14] J. Le Potier - « Dualité étrange sur le plan projectif », exposé donné à Luminy en décembre 1996.

[15] -, « L'espace de modules de Simpson », Séminaire de géométrie algébrique, Jussieu, exposé du 27 février 1992.

[16] -, « Fibré déterminant et courbes de saut sur les surfaces algébriques », Complex projective Geometry, Lecture Notes Series, vol. 179, London Math. Soc., 1992, p. 213-240. | MR | Zbl

[17] -, « Faisceaux semi-stables de dimension 1 sur le plan projectif », Revue roumaine de math. pures et appliquées 38 (1993), p. 635-678, dédicacé à la mémoire de Constantin Banica. | MR

[18] -, « Faisceaux semi-stables et systèmes cohérents », Proceedings de la Conference de Durham (juillet 1993), Cambridge University Press, 1995, p. 179-239.

[19] -, « Module des fibrés semi-stables et fonctions thêta », Proceedings du Symposium Taniguchi sur les fibrés vectoriels (Kyoto, décembre 1994) ; Moduli of vector bundles (M. Maruyama, éd.), Lecture Notes in Pure and Applied Math., vol. 179, 1996, p. 83-101. | Zbl

[20] -, Lectures on vector bundles, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 54, Cambridge Univ. Press, 1997. | MR | Zbl

[21] J. Li - « Algebraic Geometric Interpretation of Donaldson's Polynomial Invariants », J. Diff. Geo. 37 (1993), p. 417-466. | MR | Zbl

[22] W.-P. Li & Z. Qin - « Lower-degree Donaldson Polynomial Invariants of Rational Surfaces », J. Alg. Geom. 2 (1993), p. 413-442. | MR | Zbl

[23] J. Milne - « Abelian Varieties », Arithmetic Geometry (G. Cornell & J. Silverman, éds.), Springer-Verlag, 1986. | MR | Zbl

[24] D. Mumford & J. Fogarty - Geometric Invariant Theory, 2nd ed., Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 34, Springer-Verlag, 1982. | MR | Zbl

[25] K. O'Grady - « Moduli of vector bundles on surfaces », Algebraic geometry - Santa Cruz 1995, Proc. Sympos. Pure Math., Part1, vol. 62, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997, p. 101-126. | MR | Zbl

[26] C. Simpson - « Moduli of Representations of the Fundamental Group of a Smooth Variety », Publ. Math. IHES 79-80 (1994). | Numdam | Zbl

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