On the size of the sets of gradients of bump functions and starlike bodies on the Hilbert space
[Sur la taille des ensembles de dérivées des fonctions bosses et des hyperplans tangents aux corps étoilés dans l'espace de Hilbert]
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) no. 3, pp. 337-347.

On étudie la taille des ensembles de dérivées des fonctions bosses sur l’espace de Hilbert 2 , ainsi que celle de l’ensemble des hyperplans tangents à un corps étoilé dans 2 . On trouve que ces ensembles peuvent être assez petits. D’un côté, la norme de l’espace de Hilbert peut s’approximer uniformément par des fonctions de classe C 1 et lipschitziennes ψ telles que les cônes générés par les images des dérivées ψ ' ( 2 ) sont d’intérieur vide. Cela entraîne l’existence de fonctions de classe C 1 et lipschitziennes dont les cônes générés par les images des dérivées sont d’intérieur vide. On construit d’autre part des corps étoilés bornés lisses de classe C 1 et lipschitziens dont les cônes générés par leurs hyperplans tangents sont d’intérieur vide. On montre aussi pourquoi ces résultats constituent la meilleure réponse à ces questions que l’on puisse espérer.

We study the size of the sets of gradients of bump functions on the Hilbert space 2 , and the related question as to how small the set of tangent hyperplanes to a smooth bounded starlike body in 2 can be. We find that those sets can be quite small. On the one hand, the usual norm of the Hilbert space 2 can be uniformly approximated by C 1 smooth Lipschitz functions ψ so that the cones generated by the ranges of its derivatives ψ ' ( 2 ) have empty interior. This implies that there are C 1 smooth Lipschitz bumps in 2 so that the cones generated by their sets of gradients have empty interior. On the other hand, we construct C 1 -smooth bounded starlike bodies A 2 , which approximate the unit ball, so that the cones generated by the hyperplanes which are tangent to A have empty interior as well. We also explain why this is the best answer to the above questions that one can expect.

DOI : 10.24033/bsmf.2422
Classification : 46B20, 58B99
Keywords: gradient, bump function, starlike body
Mot clés : dérivées, hyperplans tangents, fonctions bosses, corps étoilés
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Cité par Sources :