Coincidence for substitutions of Pisot type

Barge, Marcy; Diamond, Beverly

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) no. 4, pp. 619-626.

Soit $\varphi$ une substitution de type Pisot sur un alphabet $𝒜=\{1,2,...,d\}$ ; on dit que $\varphi$ satisfait la condition de coïncidence forte si pour tout $i,j\in 𝒜$, il existe des entiers $k,n$ tels que ${\varphi }^n\left(i\right)$ et ${\varphi }^n\left(j\right)$ aient la même $k$-ième lettre et les préfixes de longueur $k-1$ de ${\varphi }^n\left(i\right)$ et ${\varphi }^n\left(j\right)$ aient la même image par l’application d’abélianisation. Nous montrons que la condition de coïncidence forte est satisfaite pour $d=2$ et nous donnons un résultat partiel pour $d\ge 2$.

Let $\varphi$ be a substitution of Pisot type on the alphabet $𝒜=\{1,2,...,d\}$; $\varphi$ satisfies the strong coincidence condition if for every $i,j\in 𝒜$, there are integers $k,n$ such that ${\varphi }^n\left(i\right)$ and ${\varphi }^n\left(j\right)$ have the same $k$-th letter, and the prefixes of length $k-1$ of ${\varphi }^n\left(i\right)$ and ${\varphi }^n\left(j\right)$ have the same image under the abelianization map. We prove that the strong coincidence condition is satisfied if $d=2$ and provide a partial result for $d\ge 2$.

Classification : 37B10
Keywords: substitution, dynamical system, Pisot, coincidence conjecture, pure discrete spectrum
Mot clés : substitution, système dynamique, Pisot, conjecture de coïncidence, spectre discret pur

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