Dimension of weakly expanding points for quadratic maps

Senti, Samuel

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 131 (2003) no. 3, pp. 399-420.

Pour l’application quadratique réelle $P_a\left(x\right)=x^2+a$ et un $ϵ>0$ donné, un point $x$ a de bonnes propriétés de dilatation si tout intervale contenant $x$ contient également un voisinage $J$ de $x$ avec $P_a^n{|}_J$ univalent, avec distortion bornée et $B(0,ϵ)\subseteq P_a^n\left(J\right)$ pour un $n\in \mathbb{N}$. L’ensemble $ϵ$-faiblement dilatant est l’ensemble des points qui n’ont pas de bonnes propriétes de dilatation. Notons $\alpha$ le point fixe négatif et $M$ le temps de premier retour de l’orbite critique dans $[\alpha ,-\alpha ]$. Nous prouvons l’existence d’un ensemble $ℛ$ de paramètres de mesure de Lebesgue positive pour lesquels la dimension de Hausdorff de l’ensemble $ϵ$-faiblement dilatant est bornée supérieurement et inférieurement par ${log}_{2}M/M+𝒪({log}_2{log}_{2}M/M)$ si $ϵ$ est proche de $\left|\alpha \right|$. Pour $ϵ\le \left|\alpha \right|$ quelconque la dimension est de l’ordre de $𝒪({log}_2|{log}_2ϵ|/|{log}_2ϵ|).$ Les constantes ne dependent que de $M$. Le théorème du Folklore implique alors l’existence d’une mesure de probabilité absolument continue et invariante par $P_a$ pour $a\in ℛ$ (théorème de Jakobson).

For the real quadratic map $P_a\left(x\right)=x^2+a$ and a given $ϵ>0$ a point $x$ has good expansion properties if any interval containing $x$ also contains a neighborhood $J$ of $x$ with $P_a^n{|}_J$ univalent, with bounded distortion and $B(0,ϵ)\subseteq P_a^n\left(J\right)$ for some $n\in \mathbb{N}$. The $ϵ$-weakly expanding set is the set of points which do not have good expansion properties. Let $\alpha$ denote the negative fixed point and $M$ the first return time of the critical orbit to $[\alpha ,-\alpha ]$. We show there is a set $ℛ$ of parameters with positive Lebesgue measure for which the Hausdorff dimension of the $ϵ$-weakly expanding set is bounded above and below by ${log}_{2}M/M+𝒪({log}_2{log}_{2}M/M)$ for $ϵ$ close to $\left|\alpha \right|$. For arbitrary $ϵ\le \left|\alpha \right|$ the dimension is of the order of $𝒪({log}_2|{log}_2ϵ|/|{log}_2ϵ|).$ Constants depend only on $M$. The Folklore Theorem then implies the existence of an absolutely continuous invariant probability measure for $P_a$ with $a\in ℛ$ (Jakobson’s Theorem).

[1] A. Avila, M. Lyubich & W. De Melo - « Regular or stochastic dynamics in real analytic families of unimodal maps », Preprint, 2001. | Zbl

[2] A. Avila & C. Moreira - « Statistical properties of unimodal maps: smooth families with negative Schwarzian derivative », Geometric Methods in Dynamics (I) (W. de Melo, M. Viana & J.-C. Yoccoz, éds.), Astérisque, vol. 286, Soc. Math. France, Paris, 2003, p. 81-118. | Numdam | MR | Zbl

[3] -, « Statistical properties of unimodal maps: the quadratic family », to appear in Ann. of Math., 2003. | Zbl

[4] M. Benedicks & L. Carleson - « On iterations of $1-a{x}^2$ on $(-1,1)$ », 122 (1985), no. 1, p. 1-25. | MR | Zbl

[5] -, « The dynamics of the Hénon map », 133 (1991), no. 1, p. 73-169. | MR | Zbl

[6] R. Bowen - Equilibrium states, vol. 470, Springer Verlag, 1975. | MR | Zbl

[7] K. Falconer - Fractal Geometry; Mathematical Foundations and Applications, John Wiley, 1990. | MR | Zbl

[8] J. Graczyk & G. Świątek - « Generic hyperbolicity in the logistic family », 146 (1997), no. 1, p. 1-52. | MR | Zbl

[9] M. V. Jakobson - « Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps », 81 (1981), no. 1, p. 39-88. | MR | Zbl

[10] S. Luzzatto - « Bounded recurrence of critical points and Jakobson's theorem », The Mandelbrot set, theme and variations, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2000, p. 173-210. | MR | Zbl

[11] M. Lyubich - « Dynamics of quadratic polynomials. I, II », 178 (1997), no. 2, p. 185-247, 247-297. | MR | Zbl

[12] W. De Melo & S. Van Strien - One-dimensional dynamics, Springer-Verlag, Berlin, 1993. | MR | Zbl

[13] A. Rényi - « Representations for real numbers and their ergodic properties », Acta Math. Acad. Sci. Hungar 8 (1957), p. 477-493. | MR | Zbl

[14] M. R. Rychlik - « Another proof of Jakobson's theorem and related results », 8 (1988), no. 1, p. 93-109. | MR | Zbl

[15] S. Senti - « Dimension de Hausdorff de l'ensemble exceptionnel dans le théorème de Jakobson », Thèse, Université de Paris-Sud, 2000, available at http://www.math.psu.edu/senti.

[16] M. Tsujii - « A proof of Benedicks-Carleson-Jacobson theorem », 16 (1993), no. 2, p. 295-310. | MR | Zbl

[17] J.-C. Yoccoz - « Jakobson's Theorem », Manuscript of Course at Collège de France, 1997.