Dual Blobs and Plancherel Formulas
[Blobs duaux et formule de Plancherel]
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 132 (2004) no. 1, pp. 55-80.

Soient k un corps p-adique, 𝖦 un groupe réductif connexe défini sur k, G son groupe de points k-rationnels et 𝔤 l’algèbre de Lie de 𝖦. Sous certaines hypothèses, nous quantifions le dual tempéré G ^ de G par la formule de Plancherel sur 𝔤, en utilisant des développements en caractères. Pour cela, il faut en particulier mettre en correspondance les facteurs de la décomposition spectrale de la formule de Plancherel sur 𝔤 et sur G. Comme conséquence, nous démontrons que toute représentation tempérée contient un bon 𝖪-type minimal ; nous étendons aussi ce résultat aux représentations admissibles irréductibles.

Let k be a p-adic field. Let G be the group of k-rational points of a connected reductive group 𝖦 defined over k, and let 𝔤 be its Lie algebra. Under certain hypotheses on 𝖦 and k, we quantify the tempered dual G ^ of G via the Plancherel formula on 𝔤, using some character expansions. This involves matching spectral decomposition factors of the Plancherel formulas on 𝔤 and G. As a consequence, we prove that any tempered representation contains a good minimal 𝖪-type; we extend this result to irreducible admissible representations.

DOI : 10.24033/bsmf.2459
Classification : 22E50, 22E35, 20G25
Keywords: representations, $p$-adic groups, Plancherel formula, character expansions
Mot clés : représentation, groupes $p$-adiques, formule de Plancherel, développements en caractères
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Kim, Ju-Lee. Dual Blobs and Plancherel Formulas. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 132 (2004) no. 1, pp. 55-80. doi : 10.24033/bsmf.2459. http://archive.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2459/

[1] J. Adler - « Refined anisotropic k-types and supercuspidal representations », Pacific J. Math. 185 (1998), p. 1-32. | MR | Zbl

[2] J. Adler & S. Debacker - « Some applications of Bruhat-Tits theory to harmonic analysis on the Lie algebra of a reductive p-adic group », Michigan J. Math. 50 (2002), no. 2, p. 263-286. | MR | Zbl

[3] J. Adler & A. Roche - « An intertwining result for p-adic groups », Canad. J. Math. 52 (2000), no. 3, p. 449-467. | MR | Zbl

[4] D. Barbasch & A. Moy - « Local character expansions », Ann. Sci. École Norm. Sup. 30 (1997), no. 5, p. 553-567. | Numdam | MR | Zbl

[5] S. Debacker - « Homogeneity results for invariant distributions of a reductive p-adic group », Ann. Sci. École Norm. Sup. 35 (2002), p. 391-422. | Numdam | MR | Zbl

[6] -, « Parameterizing nilpotent orbits via Bruhat-Tits theory », Ann. of Math. 156 (2002), p. 295-331. | MR | Zbl

[7] J. Dixmier - Les C * -algèbres et leurs représentations, Éditions Jacques Gabay, Paris, 1996. | Zbl

[8] Harish-Chandra - 1976.

[9] -, Admissible invariant distributions on reductive p-adic groups, University Lecture Series, vol. 16, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, Preface and notes by Stephen DeBacker and Paul J.Sally, Jr. | MR | Zbl

[10] R. Howe - « Kirillov theory for compact p-adic groups », Pacific J. Math. 73 (1977), p. 365-381. | MR | Zbl

[11] -, « Some qualitative results on the representation theory or Gl n over a p-adic field », Pacific J. Math. 73 (1977), p. 479-538. | MR | Zbl

[12] J. Kim - « Hecke algebras of classical groups over p-adic fields and supercuspidal representations », Amer. J. Math. 121 (1999), p. 967-1029. | MR | Zbl

[13] J. Kim & F. Murnaghan - « Character expansions and unrefined minimal 𝖪-types », Preprint, 2002. | MR | Zbl

[14] A. Moy & G. Prasad - « Unrefined minimal K-types for p-adic groups », Invent. Math. 116 (1994), p. 393-408. | EuDML | MR | Zbl

[15] -, « Jacquet functors and unrefined minimal K-types », Comment. Math. Helv. 71 (1996), p. 98-121. | EuDML | MR | Zbl

[16] G. Prasad - « Galois fixed points in the Bruhat-Tits buildings of a reductive group », Bull. Soc. Math. France 129 (2001), p. 169-174. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[17] G. Rousseau - « Immeubles des groupes réductifs sur les corps locaux », Thèse, Paris XI, 1977. | MR | Zbl

[18] J.-L. Waldspurger - « Homogénéité de certaines distributions sur les groupes p-adiques », Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 81 (1995), p. 25-72. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[19] -, « La formule de Plancherel pour les groupes p-adiques d’après Harish-Chandra », J. Inst. Math. Jussieu 2 (2003), no. 2, p. 235-333. | MR | Zbl

[20] J. Yu - « Construction of tame supercuspidal representations », J. Amer. Math. Soc. 14 (2001), no. 3, p. 579-622. | MR | Zbl

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