Représentations lisses de $GL(m,D)$ I : caractères simples

Sécherre, Vincent

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 132 (2004) no. 3, pp. 327-396.

Ce travail s’inscrit dans le cadre de la théorie des types pour les groupes réductifs sur un corps local non archimédien. Étant donnés un tel corps $F$ et une algèbre à division $D$ de centre $F$, de dimension finie sur celui-ci, nous produisons, pour toute strate simple de l’algèbre de matrices $\mathrm{M}(m,D)$, $m\ge 1$, un ensemble de caractères simples au sens de Bushnell et Kutzko. Ceux-ci sont reliés à ceux construits dans le cas déployé par un principe de transfert.

This work is concerned with type theory for reductive groups over a non Archimedean local field. Given such a field $F$, and a division algebra $D$ of finite dimension over its center $F$, for each simple stratum of the matrix algebra $\mathrm{M}(m,D)$, $m\ge 1$, we produce a set of simple characters in the sense of Bushnell and Kutzko, related to those constructed by Bushnell and Kutzko in the split case by a transfer property.

[1] J. Bernstein - « Le ‘centre' de Bernstein », Representations of reductive groups over a local field (P. Deligne, éd.), Travaux en Cours, Hermann, Paris, 1984, p. 1-32. | MR | Zbl

[2] P. Broussous - « Le dual admissible d'une algèbre à division locale : une paramétrisation par des types simples à la Bushnell et Kutzko », Thèse, Université Louis Pasteur, Strasbourg, 1995. | MR

[3] -, « Extension du formalisme de Bushnell et Kutzko au cas d'une algèbre à division », Proc. London Math. Soc. 77 (1998), no. 2, p. 292-326. | MR | Zbl

[4] -, « Hereditary orders and embeddings of local fields in simple algebras », J. Algebra 204 (1998), no. 1, p. 324-336. | MR | Zbl

[5] -, « Minimal strata for $\mathrm{GL}(m,D)$ », J. reine angew. Math. 514 (1999), p. 199-236. | MR | Zbl

[6] P. Broussous & M. Grabitz - « Pure elements and intertwining classes of simple strata in local central simple algebras », Comm. Algebra 28 (2000), no. 11, p. 5405-5442. | MR | Zbl

[7] P. Broussous & B. Lemaire - « Building of $\mathrm{GL}(m,D)$ and centralizers », Transform. Groups 7 (2002), no. 1, p. 15-50. | MR | Zbl

[8] F. Bruhat & J. Tits - « Schémas en groupes et immeubles des groupes classiques sur un corps local », Bull. Soc. Math. France 112 (1984), no. 2, p. 259-301. | Numdam | MR | Zbl

[9] C. Bushnell & A. Fröhlich - « Nonabelian congruence Gauss sums and $p$-adic simple algebras », Proc. London Math. Soc. 50 (1985), no. 2, p. 207-264. | MR | Zbl

[10] C. Bushnell & G. Henniart - « Local tame lifting for $\mathrm{GL}\left(N\right)$. I.Simple characters », Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 83 (1996), p. 105-233. | Numdam | MR | Zbl

[11] C. Bushnell & P. C. Kutzko - The admissible dual of $\mathrm{GL}\left(N\right)$ via compact open subgroups, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1993. | MR | Zbl

[12] -, « Smooth representations of reductive $p$-adic groups : structure theory via types », Proc. London Math. Soc. 77 (1998), no. 3, p. 582-634. | MR | Zbl

[13] -, « Semisimple types in ${\mathrm{GL}}_n$ », Comp. Math. 119 (1999), no. 1, p. 53-97. | MR | Zbl

[14] M. Grabitz - « Continuation of hereditary orders in local central simple algebras », J. Number Theory 77 (1999), no. 1, p. 1-26. | MR | Zbl

[15] -, « On the construction of simple characters and the extensions of their Heisenberg representations in local centrally simple algebras », Ph.D. Thesis, Berlin, 2000. | Zbl

[16] M. Grabitz, A. Silberger & E.-W. Zink - « Level zero types and Hecke algebras for local central simple algebras », J. Number Theory 91 (2001), no. 1, p. 92-125. | MR | Zbl

[17] H. Koch - Algebraic number theory, russian éd., Springer-Verlag, Berlin, 1997, reprint of the 1992 translation. | MR | Zbl

[18] H. Reimann - « Representations of tamely ramified $p$-adic division and matrix algebras », J. Number Theory 38 (1991), no. 1, p. 58-105. | MR | Zbl

[19] I. Reiner - Maximal orders, London Mathematical Society Monographs, vol. 5, Academic Press [A subsidiary of Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], London-New York, 1975. | MR | Zbl

[20] J.-P. Serre - Corps locaux, Hermann, Paris, 1968, Deuxième édition, Publications de l'Université de Nancago, No. VIII. | MR | Zbl

[21] -, Cohomologie galoisienne 1994. | MR

[22] S. Stevens - « Double coset decompositions and intertwining », Manuscripta Math. 106 (2001), no. 3, p. 349-364. | MR | Zbl

[23] -, « Intertwining and supercuspidal types for $p$-adic classical groups », Proc. London Math. Soc. 831 (2001), p. 120-140. | MR | Zbl

[24] A. Weil - Basic number theory, 3e éd., Springer-Verlag, New York, 1974, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 144. | MR | Zbl

[25] E.-W. Zink - « Representation filters and their application in the theory of local fields », J. reine angew. Math. 387 (1988), p. 182-208. | MR | Zbl

[26] -, « Representation theory of local division algebras », J. reine angew. Math. 428 (1992), p. 1-44. | MR | Zbl

[27] -, « More on embeddings of local fields in simple algebras », J. Number Theory 77 (1999), no. 1, p. 51-61. | MR | Zbl