The stack of microlocal perverse sheaves
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 132 (2004) no. 3, p. 397-462

In this paper we construct the abelian stack of microlocal perverse sheaves on the projective cotangent bundle of a complex manifold. Following ideas of Andronikof we first consider microlocal perverse sheaves at a point using classical tools from microlocal sheaf theory. Then we will use Kashiwara-Schapira's theory of analytic ind-sheaves to globalize our construction. This presentation allows us to formulate explicitly a global microlocal Riemann-Hilbert correspondence.

Nous construisons le champ abélien des faisceaux pervers microlocaux sur le fibré cotangent projectif d'une variété analytique complexe. Suivant des idées d'Andronikof, nous considérons d'abord les germes de faisceaux pervers microlocaux en un point en utilisant les outils classiques de la théorie microlocale des faisceaux. Ensuite nous utilisons la théorie des ind-faisceaux analytiques de Kashiwara-Schapira pour globaliser notre construction. Cette présentation nous permettra de formuler explicitement une version globale de la correspondance de Riemann-Hilbert microlocale.

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2469
Classification:  35A27,  32S60,  18D05
Keywords: sheaf, constructible sheaf, perverse sheaf, microlocal sheaf theory, ind-sheaf, 2-limit, stack
@article{BSMF_2004__132_3_397_0,
     author = {Waschkies, Ingo},
     title = {The stack of microlocal perverse sheaves},
     journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     volume = {132},
     number = {3},
     year = {2004},
     pages = {397-462},
     doi = {10.24033/bsmf.2469},
     zbl = {1112.32015},
     mrnumber = {2081221},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/item/BSMF_2004__132_3_397_0}
}
Waschkies, Ingo. The stack of microlocal perverse sheaves. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 132 (2004) no. 3, pp. 397-462. doi : 10.24033/bsmf.2469. http://www.numdam.org/item/BSMF_2004__132_3_397_0/

[1] E. Andronikof - « A microlocal version of the Riemann-Hilbert correspondence », Topol. Meth. Nonlin. Anal. 4 (1994), p. 417-425. | MR 1350980 | Zbl 0839.32004

[2] -, Microlocalisation tempérée, Mém. Soc. Math. France (N.S.), vol. 57, Société Mathématique de France, Paris, 1994.

[3] A. Beilinson, J. Bernstein & P. Deligne - Faisceaux pervers, analyse et topologie sur les espaces singuliers, Astérisque, vol. 100, Soc. Math. France, 1982. | MR 751966 | Zbl 0536.14011

[4] A. D'Agnolo - « On the microlocal cut-off of sheaves », Topol. Meth. Nonlin. Anal. 8 (1996), p. 161-167. | MR 1485761 | Zbl 0901.58070

[5] P. Gabriel - « Des catégories abéliennes », Bull. Soc. Math. France 90 (1962), p. 323-448. | Numdam | MR 232821 | Zbl 0201.35602

[6] S. Gelfand, R. Macpherson & K. Vilonen - « Microlocal Perverse Sheaves », anounced.

[7] M. Kashiwara - « The Riemann-Hilbert problem for holonomic systems », Publ. RIMS, Kyoto Univ. 20 (1984), p. 319-365. | MR 743382 | Zbl 0566.32023

[8] -, « Quantization of contact manifolds », Publ. RIMS, Kyoto Univ. 32 (1996), p. 1-7. | MR 1384750

[9] -, « Ind-Microlocalization », written by F.Ivorra and I.Waschkies following a manuscript of M.Kashiwara, to appear in Progress in Math., Birkhäuser.

[10] M. Kashiwara & T. Kawai - « On holonomic systems of microdifferential equations III », Publ. RIMS, Kyoto Univ. 17 (1981), p. 813-979. | MR 650216 | Zbl 0505.58033

[11] M. Kashiwara & P. Schapira - Sheaves on Manifolds, Springer, 1990. | MR 1074006 | Zbl 0709.18001

[12] -, Ind-sheaves, Astérisque, vol. 271, Société Mathématique de France, Paris, 2001. | Zbl 0993.32009

[13] S. Maclane - Categories for the working mathematician, 2nd éd., Springer, 1998. | MR 1712872 | Zbl 0705.18001

[14] M. Sato, T. Kawai & M. Kashiwara - « Hyperfunctions and pseudo-differential equations », Proceedings Katata 1971 (H. Komatsu, éd.), Lecture Notes in Math., vol. 287, Springer, 1973, p. 265-529. | MR 420735 | Zbl 0277.46039

[15] R. Street - « Categorical structures », Handbook of algebra, vol. 1, North-Holland, 1996, p. 529-577. | MR 1421811 | Zbl 0854.18001

[16] R. Thomason - « Homotopy colimits in the category of small categories », Proc. Camb. Phil. Soc. 85 (1979), p. 91-109. | MR 510404 | Zbl 0392.18001